Элемент. математика Примеры

$\frac{y^{2} - 6 y + 9}{- (y^{2} - 4)} \div \frac{y^{2} - 9}{y^{2} - 8 y + 12}$

Этап 1

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную к ней дробь.

$\frac{y^{2} - 6 y + 9}{- (y^{2} - 4)} \cdot \frac{y^{2} - 8 y + 12}{y^{2} - 9}$

Этап 2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 6 y + 3^{2}}{- (y^{2} - 4)} \cdot \frac{y^{2} - 8 y + 12}{y^{2} - 9}$

Этап 2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$6 y = 2 \cdot y \cdot 3$

Этап 2.3

Перепишем многочлен.

$\frac{y^{2} - 2 \cdot y \cdot 3 + 3^{2}}{- (y^{2} - 4)} \cdot \frac{y^{2} - 8 y + 12}{y^{2} - 9}$

Этап 2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = y$ и $b = 3$ .

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{- (y^{2} - 4)} \cdot \frac{y^{2} - 8 y + 12}{y^{2} - 9}$

Этап 3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{- (y^{2} - 2^{2})} \cdot \frac{y^{2} - 8 y + 12}{y^{2} - 9}$

Этап 3.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = y$ и $b = 2$ .

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{- (y + 2) (y - 2)} \cdot \frac{y^{2} - 8 y + 12}{y^{2} - 9}$

Этап 4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{{(y - 3)}^{2}}{(y + 2) (y - 2)} \cdot \frac{y^{2} - 8 y + 12}{y^{2} - 9}$

Этап 5

Разложим $y^{2} - 8 y + 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $12$ , а сумма — $- 8$ .

$- 6, - 2$

Этап 5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- \frac{{(y - 3)}^{2}}{(y + 2) (y - 2)} \cdot \frac{(y - 6) (y - 2)}{y^{2} - 9}$

Этап 6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$- \frac{{(y - 3)}^{2}}{(y + 2) (y - 2)} \cdot \frac{(y - 6) (y - 2)}{y^{2} - 3^{2}}$

Этап 6.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = y$ и $b = 3$ .

$- \frac{{(y - 3)}^{2}}{(y + 2) (y - 2)} \cdot \frac{(y - 6) (y - 2)}{(y + 3) (y - 3)}$

Этап 7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель $y - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{{(y - 3)}^{2}}{(y + 2) (y - 2)}$ в числитель.

$\frac{- {(y - 3)}^{2}}{(y + 2) (y - 2)} \cdot \frac{(y - 6) (y - 2)}{(y + 3) (y - 3)}$

Этап 7.1.2

Вынесем множитель $y - 3$ из $- {(y - 3)}^{2}$ .

$\frac{(y - 3) (- (y - 3))}{(y + 2) (y - 2)} \cdot \frac{(y - 6) (y - 2)}{(y + 3) (y - 3)}$

Этап 7.1.3

Вынесем множитель $y - 3$ из $(y + 3) (y - 3)$ .

$\frac{(y - 3) (- (y - 3))}{(y + 2) (y - 2)} \cdot \frac{(y - 6) (y - 2)}{(y - 3) (y + 3)}$

Этап 7.1.4

Сократим общий множитель.

$\frac{(y - 3) (- (y - 3))}{(y + 2) (y - 2)} \cdot \frac{(y - 6) (y - 2)}{(y - 3) (y + 3)}$

Этап 7.1.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- (y - 3)}{(y + 2) (y - 2)} \cdot \frac{(y - 6) (y - 2)}{y + 3}$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $y - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем множитель $y - 2$ из $(y + 2) (y - 2)$ .

$\frac{- (y - 3)}{(y - 2) (y + 2)} \cdot \frac{(y - 6) (y - 2)}{y + 3}$

Этап 7.2.2

Вынесем множитель $y - 2$ из $(y - 6) (y - 2)$ .

$\frac{- (y - 3)}{(y - 2) (y + 2)} \cdot \frac{(y - 2) (y - 6)}{y + 3}$

Этап 7.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- (y - 3)}{(y - 2) (y + 2)} \cdot \frac{(y - 2) (y - 6)}{y + 3}$

Этап 7.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- (y - 3)}{y + 2} \cdot \frac{y - 6}{y + 3}$

Этап 7.3

Умножим $\frac{- (y - 3)}{y + 2}$ на $\frac{y - 6}{y + 3}$ .

$\frac{- (y - 3) (y - 6)}{(y + 2) (y + 3)}$

Этап 7.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(y - 3) (y - 6)}{(y + 2) (y + 3)}$