Элемент. математика Примеры

$\frac{1 - \sqrt{3}}{3 \sqrt{5} - \sqrt{15}}$

Этап 1

Умножим $\frac{1 - \sqrt{3}}{3 \sqrt{5} - \sqrt{15}}$ на $\frac{3 \sqrt{5} + \sqrt{15}}{3 \sqrt{5} + \sqrt{15}}$ .

$\frac{1 - \sqrt{3}}{3 \sqrt{5} - \sqrt{15}} \cdot \frac{3 \sqrt{5} + \sqrt{15}}{3 \sqrt{5} + \sqrt{15}}$

Этап 2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{1 - \sqrt{3}}{3 \sqrt{5} - \sqrt{15}}$ на $\frac{3 \sqrt{5} + \sqrt{15}}{3 \sqrt{5} + \sqrt{15}}$ .

$\frac{(1 - \sqrt{3}) (3 \sqrt{5} + \sqrt{15})}{(3 \sqrt{5} - \sqrt{15}) (3 \sqrt{5} + \sqrt{15})}$

Этап 2.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(1 - \sqrt{3}) (3 \sqrt{5} + \sqrt{15})}{9 {\sqrt{5}}^{2} + 3 \sqrt{75} - 3 \sqrt{75} - {\sqrt{15}}^{2}}$

Этап 2.3

Упростим.

$\frac{(1 - \sqrt{3}) (3 \sqrt{5} + \sqrt{15})}{30}$

Этап 3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Развернем $(1 - \sqrt{3}) (3 \sqrt{5} + \sqrt{15})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 (3 \sqrt{5} + \sqrt{15}) - \sqrt{3} (3 \sqrt{5} + \sqrt{15})}{30}$

Этап 3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 (3 \sqrt{5}) + 1 \sqrt{15} - \sqrt{3} (3 \sqrt{5} + \sqrt{15})}{30}$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 (3 \sqrt{5}) + 1 \sqrt{15} - \sqrt{3} (3 \sqrt{5}) - \sqrt{3} \sqrt{15}}{30}$

Этап 3.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим $3 \sqrt{5}$ на $1$ .

$\frac{3 \sqrt{5} + 1 \sqrt{15} - \sqrt{3} (3 \sqrt{5}) - \sqrt{3} \sqrt{15}}{30}$

Этап 3.2.1.2

Умножим $\sqrt{15}$ на $1$ .

$\frac{3 \sqrt{5} + \sqrt{15} - \sqrt{3} (3 \sqrt{5}) - \sqrt{3} \sqrt{15}}{30}$

Этап 3.2.1.3

Умножим $- \sqrt{3} (3 \sqrt{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{3 \sqrt{5} + \sqrt{15} - 3 \sqrt{3} \sqrt{5} - \sqrt{3} \sqrt{15}}{30}$

Этап 3.2.1.3.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{3 \sqrt{5} + \sqrt{15} - 3 \sqrt{5 \cdot 3} - \sqrt{3} \sqrt{15}}{30}$

Этап 3.2.1.3.3

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{3 \sqrt{5} + \sqrt{15} - 3 \sqrt{15} - \sqrt{3} \sqrt{15}}{30}$

Этап 3.2.1.4

Умножим $- \sqrt{3} \sqrt{15}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{3 \sqrt{5} + \sqrt{15} - 3 \sqrt{15} - \sqrt{15 \cdot 3}}{30}$

Этап 3.2.1.4.2

Умножим $15$ на $3$ .

$\frac{3 \sqrt{5} + \sqrt{15} - 3 \sqrt{15} - \sqrt{45}}{30}$

Этап 3.2.1.5

Перепишем $45$ в виде $3^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Вынесем множитель $9$ из $45$ .

$\frac{3 \sqrt{5} + \sqrt{15} - 3 \sqrt{15} - \sqrt{9 (5)}}{30}$

Этап 3.2.1.5.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{5} + \sqrt{15} - 3 \sqrt{15} - \sqrt{3^{2} \cdot 5}}{30}$

Этап 3.2.1.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{3 \sqrt{5} + \sqrt{15} - 3 \sqrt{15} - (3 \sqrt{5})}{30}$

Этап 3.2.1.7

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{3 \sqrt{5} + \sqrt{15} - 3 \sqrt{15} - 3 \sqrt{5}}{30}$

Этап 3.2.2

Вычтем $3 \sqrt{5}$ из $3 \sqrt{5}$ .

$\frac{0 + \sqrt{15} - 3 \sqrt{15}}{30}$

Этап 3.2.3

Добавим $0$ и $\sqrt{15}$ .

$\frac{\sqrt{15} - 3 \sqrt{15}}{30}$

Этап 3.2.4

Вычтем $3 \sqrt{15}$ из $\sqrt{15}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{15}}{30}$

Этап 4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sqrt{15}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{15})}{30}$

Этап 4.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $30$ .

$\frac{2 (- \sqrt{15})}{2 (15)}$

Этап 4.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- \sqrt{15})}{2 \cdot 15}$

Этап 4.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- \sqrt{15}}{15}$

Этап 4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\sqrt{15}}{15}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{\sqrt{15}}{15}$

Десятичная форма:

$- 0.25819888 \dots$