Элемент. математика Примеры

$\frac{15 + 2 y - y^{2}}{3 y^{2} - 16 y + 5}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Запишем $15$ как $16$ плюс $- 1$

$\frac{16 - 1 + 2 y - y^{2}}{3 y^{2} - 16 y + 5}$

Этап 1.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{16 - (1^{2} - 2 y + y^{2})}{3 y^{2} - 16 y + 5}$

Этап 1.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 y = 2 \cdot 1 \cdot y$

Этап 1.2.3

Перепишем многочлен.

$\frac{16 - (1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot y + y^{2})}{3 y^{2} - 16 y + 5}$

Этап 1.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = 1$ и $b = y$ .

$\frac{16 - {(1 - y)}^{2}}{3 y^{2} - 16 y + 5}$

Этап 1.3

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{4^{2} - {(1 - y)}^{2}}{3 y^{2} - 16 y + 5}$

Этап 1.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 4$ и $b = 1 - y$ .

$\frac{(4 + 1 - y) (4 - (1 - y))}{3 y^{2} - 16 y + 5}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Добавим $4$ и $1$ .

$\frac{(5 - y) (4 - (1 - y))}{3 y^{2} - 16 y + 5}$

Этап 1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(5 - y) (4 - 1 \cdot 1 - - y)}{3 y^{2} - 16 y + 5}$

Этап 1.5.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{(5 - y) (4 - 1 - - y)}{3 y^{2} - 16 y + 5}$

Этап 1.5.4

Умножим $- - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{(5 - y) (4 - 1 + 1 y)}{3 y^{2} - 16 y + 5}$

Этап 1.5.4.2

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{(5 - y) (4 - 1 + y)}{3 y^{2} - 16 y + 5}$

Этап 1.5.5

Вычтем $1$ из $4$ .

$\frac{(5 - y) (3 + y)}{3 y^{2} - 16 y + 5}$

Этап 2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 5 = 15$ , а сумма — $b = - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $- 16$ из $- 16 y$ .

$\frac{(5 - y) (3 + y)}{3 y^{2} - 16 (y) + 5}$

Этап 2.1.2

Запишем $- 16$ как $- 1$ плюс $- 15$

$\frac{(5 - y) (3 + y)}{3 y^{2} + (- 1 - 15) y + 5}$

Этап 2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(5 - y) (3 + y)}{3 y^{2} - 1 y - 15 y + 5}$

Этап 2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(5 - y) (3 + y)}{(3 y^{2} - 1 y) - 15 y + 5}$

Этап 2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{(5 - y) (3 + y)}{y (3 y - 1) - 5 (3 y - 1)}$

Этап 2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 y - 1$ .

$\frac{(5 - y) (3 + y)}{(3 y - 1) (y - 5)}$

Этап 3

Сократим общий множитель $5 - y$ и $y - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $5$ в виде $- 1 (- 5)$ .

$\frac{(- 1 (- 5) - y) (3 + y)}{(3 y - 1) (y - 5)}$

Этап 3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$\frac{(- 1 (- 5) - (y)) (3 + y)}{(3 y - 1) (y - 5)}$

Этап 3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- 5) - (y)$ .

$\frac{- 1 (- 5 + y) (3 + y)}{(3 y - 1) (y - 5)}$

Этап 3.4

Изменим порядок членов.

$\frac{- 1 (y - 5) (3 + y)}{(3 y - 1) (y - 5)}$

Этап 3.5

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1 (y - 5) (3 + y)}{(3 y - 1) (y - 5)}$

Этап 3.6

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1 (3 + y)}{3 y - 1}$

Этап 4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 + y}{3 y - 1}$