Элемент. математика Примеры

\frac{{(a + b)}^{3} + {(a - b)}^{3}}{a (a^{2} + 3 b^{2})}

$\frac{{(a + b)}^{3} + {(a - b)}^{3}}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов,

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где

a = a + b

$a = a + b$ и

b = a - b

$b = a - b$ .

\frac{(a + b + a - b) ({(a + b)}^{2} - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}

$\frac{(a + b + a - b) ({(a + b)}^{2} - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Добавим

a

$a$ и

a

$a$ .

\frac{(2 a + b - b) ({(a + b)}^{2} - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}

$\frac{(2 a + b - b) ({(a + b)}^{2} - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.2

Вычтем

b

$b$ из

b

$b$ .

\frac{(2 a + 0) ({(a + b)}^{2} - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}

$\frac{(2 a + 0) ({(a + b)}^{2} - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.3

Добавим

2 a

$2 a$ и

0

$0$ .

\frac{2 a ({(a + b)}^{2} - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}

$\frac{2 a ({(a + b)}^{2} - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.4

Перепишем

{(a + b)}^{2}

${(a + b)}^{2}$ в виде

(a + b) (a + b)

$(a + b) (a + b)$ .

\frac{2 a ((a + b) (a + b) - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}

$\frac{2 a ((a + b) (a + b) - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.5

Развернем

(a + b) (a + b)

$(a + b) (a + b)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

\frac{2 a (a (a + b) + b (a + b) - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}

$\frac{2 a (a (a + b) + b (a + b) - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

\frac{2 a (a \cdot a + a b + b (a + b) - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}

$\frac{2 a (a \cdot a + a b + b (a + b) - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 a (a \cdot a + a b + b a + b \cdot b - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.1

Умножим

$a$ на

$a$ .

$\frac{2 a (a^{2} + a b + b a + b \cdot b - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.6.1.2

Умножим

$b$ на

$b$ .

$\frac{2 a (a^{2} + a b + b a + b^{2} - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.6.2

Добавим

$a b$ и

$b a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Изменим порядок

$b$ и

$a$ .

$\frac{2 a (a^{2} + a b + a b + b^{2} - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.6.2.2

Добавим

$a b$ и

$a b$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} + (- a - b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.8

Развернем

$(- a - b) (a - b)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a (a - b) - b (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a \cdot a - a (- b) - b (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a \cdot a - a (- b) - b a - b (- b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.9

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1.1

Умножим

$a$ на

$a$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1.1.1

Перенесем

$a$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - (a \cdot a) - a (- b) - b a - b (- b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.9.1.1.2

Умножим

$a$ на

$a$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} - a (- b) - b a - b (- b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.9.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} - 1 \cdot - 1 a b - b a - b (- b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.9.1.3

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + 1 a b - b a - b (- b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.9.1.4

Умножим

$a$ на

$1$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + a b - b a - b (- b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.9.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + a b - b a - 1 \cdot - 1 b \cdot b + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.9.1.6

Умножим

$b$ на

$b$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1.6.1

Перенесем

$b$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + a b - b a - 1 \cdot - 1 (b \cdot b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.9.1.6.2

Умножим

$b$ на

$b$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + a b - b a - 1 \cdot - 1 b^{2} + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.9.1.7

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + a b - b a + 1 b^{2} + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.9.1.8

Умножим

$b^{2}$ на

$1$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + a b - b a + b^{2} + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.9.2

Вычтем

$b a$ из

$a b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.2.1

Перенесем

$b$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + a b - 1 a b + b^{2} + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.9.2.2

Вычтем

$a b$ из

$a b$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + 0 + b^{2} + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.9.3

Добавим

$- a^{2}$ и

$0$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.10

Перепишем

${(a - b)}^{2}$ в виде

$(a - b) (a - b)$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + (a - b) (a - b))}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.11

Развернем

$(a - b) (a - b)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a (a - b) - b (a - b))}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a \cdot a + a (- b) - b (a - b))}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a \cdot a + a (- b) - b a - b (- b))}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.12

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.12.1.1

Умножим

$a$ на

$a$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a^{2} + a (- b) - b a - b (- b))}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.12.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a^{2} - a b - b a - b (- b))}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.12.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 b \cdot b)}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.12.1.4

Умножим

$b$ на

$b$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.12.1.4.1

Перенесем

$b$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 (b \cdot b))}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.12.1.4.2

Умножим

$b$ на

$b$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 b^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.12.1.5

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a^{2} - a b - b a + 1 b^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.12.1.6

Умножим

$b^{2}$ на

$1$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a^{2} - a b - b a + b^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.12.2

Вычтем

$b a$ из

$- a b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.12.2.1

Перенесем

$b$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a^{2} - a b - 1 a b + b^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.12.2.2

Вычтем

$a b$ из

$- a b$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a^{2} - 2 a b + b^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.13

Вычтем

$a^{2}$ из

$a^{2}$ .

$\frac{2 a (2 a b + b^{2} + 0 + b^{2} + a^{2} - 2 a b + b^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.14

Добавим

$2 a b$ и

$0$ .

$\frac{2 a (b^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} - 2 a b + b^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.15

Добавим

$b^{2}$ и

$b^{2}$ .

$\frac{2 a (2 b^{2} + 2 a b + a^{2} - 2 a b + b^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.16

Добавим

$2 b^{2}$ и

$b^{2}$ .

$\frac{2 a (3 b^{2} + 2 a b + a^{2} - 2 a b)}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.17

Вычтем

$2 a b$ из

$2 a b$ .

$\frac{2 a (3 b^{2} + a^{2} + 0)}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.18

Добавим

$3 b^{2} + a^{2}$ и

$0$ .

$\frac{2 a (3 b^{2} + a^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим общий множитель

$a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 a (3 b^{2} + a^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 (3 b^{2} + a^{2})}{a^{2} + 3 b^{2}}$

Этап 2.2

Сократим общий множитель

$3 b^{2} + a^{2}$ и

$a^{2} + 3 b^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Изменим порядок членов.

$\frac{2 (a^{2} + 3 b^{2})}{a^{2} + 3 b^{2}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (a^{2} + 3 b^{2})}{a^{2} + 3 b^{2}}$

Этап 2.2.3

Разделим

$2$ на

$1$ .

$2$