Элемент. математика Примеры

$\frac{{(a + b)}^{3} + {(a - b)}^{3}}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = a + b$ и $b = a - b$ .

$\frac{(a + b + a - b) ({(a + b)}^{2} - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Добавим $a$ и $a$ .

$\frac{(2 a + b - b) ({(a + b)}^{2} - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.2

Вычтем $b$ из $b$ .

$\frac{(2 a + 0) ({(a + b)}^{2} - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.3

Добавим $2 a$ и $0$ .

$\frac{2 a ({(a + b)}^{2} - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.4

Перепишем ${(a + b)}^{2}$ в виде $(a + b) (a + b)$ .

$\frac{2 a ((a + b) (a + b) - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.5

Развернем $(a + b) (a + b)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 a (a (a + b) + b (a + b) - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 a (a \cdot a + a b + b (a + b) - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 a (a \cdot a + a b + b a + b \cdot b - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.1

Умножим $a$ на $a$ .

$\frac{2 a (a^{2} + a b + b a + b \cdot b - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.6.1.2

Умножим $b$ на $b$ .

$\frac{2 a (a^{2} + a b + b a + b^{2} - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.6.2

Добавим $a b$ и $b a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Изменим порядок $b$ и $a$ .

$\frac{2 a (a^{2} + a b + a b + b^{2} - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.6.2.2

Добавим $a b$ и $a b$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} + (- a - b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.8

Развернем $(- a - b) (a - b)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a (a - b) - b (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a \cdot a - a (- b) - b (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a \cdot a - a (- b) - b a - b (- b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.9

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1.1

Умножим $a$ на $a$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1.1.1

Перенесем $a$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - (a \cdot a) - a (- b) - b a - b (- b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.9.1.1.2

Умножим $a$ на $a$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} - a (- b) - b a - b (- b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.9.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} - 1 \cdot - 1 a b - b a - b (- b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.9.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + 1 a b - b a - b (- b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.9.1.4

Умножим $a$ на $1$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + a b - b a - b (- b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.9.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + a b - b a - 1 \cdot - 1 b \cdot b + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.9.1.6

Умножим $b$ на $b$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1.6.1

Перенесем $b$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + a b - b a - 1 \cdot - 1 (b \cdot b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.9.1.6.2

Умножим $b$ на $b$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + a b - b a - 1 \cdot - 1 b^{2} + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.9.1.7

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + a b - b a + 1 b^{2} + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.9.1.8

Умножим $b^{2}$ на $1$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + a b - b a + b^{2} + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.9.2

Вычтем $b a$ из $a b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.2.1

Перенесем $b$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + a b - 1 a b + b^{2} + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.9.2.2

Вычтем $a b$ из $a b$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + 0 + b^{2} + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.9.3

Добавим $- a^{2}$ и $0$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.10

Перепишем ${(a - b)}^{2}$ в виде $(a - b) (a - b)$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + (a - b) (a - b))}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.11

Развернем $(a - b) (a - b)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a (a - b) - b (a - b))}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a \cdot a + a (- b) - b (a - b))}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a \cdot a + a (- b) - b a - b (- b))}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.12

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.12.1.1

Умножим $a$ на $a$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a^{2} + a (- b) - b a - b (- b))}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.12.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a^{2} - a b - b a - b (- b))}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.12.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 b \cdot b)}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.12.1.4

Умножим $b$ на $b$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.12.1.4.1

Перенесем $b$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 (b \cdot b))}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.12.1.4.2

Умножим $b$ на $b$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 b^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.12.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a^{2} - a b - b a + 1 b^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.12.1.6

Умножим $b^{2}$ на $1$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a^{2} - a b - b a + b^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.12.2

Вычтем $b a$ из $- a b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.12.2.1

Перенесем $b$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a^{2} - a b - 1 a b + b^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.12.2.2

Вычтем $a b$ из $- a b$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a^{2} - 2 a b + b^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.13

Вычтем $a^{2}$ из $a^{2}$ .

$\frac{2 a (2 a b + b^{2} + 0 + b^{2} + a^{2} - 2 a b + b^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.14

Добавим $2 a b$ и $0$ .

$\frac{2 a (b^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} - 2 a b + b^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.15

Добавим $b^{2}$ и $b^{2}$ .

$\frac{2 a (2 b^{2} + 2 a b + a^{2} - 2 a b + b^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.16

Добавим $2 b^{2}$ и $b^{2}$ .

$\frac{2 a (3 b^{2} + 2 a b + a^{2} - 2 a b)}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.17

Вычтем $2 a b$ из $2 a b$ .

$\frac{2 a (3 b^{2} + a^{2} + 0)}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 1.2.18

Добавим $3 b^{2} + a^{2}$ и $0$ .

$\frac{2 a (3 b^{2} + a^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим общий множитель $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 a (3 b^{2} + a^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Этап 2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 (3 b^{2} + a^{2})}{a^{2} + 3 b^{2}}$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $3 b^{2} + a^{2}$ и $a^{2} + 3 b^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Изменим порядок членов.

$\frac{2 (a^{2} + 3 b^{2})}{a^{2} + 3 b^{2}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (a^{2} + 3 b^{2})}{a^{2} + 3 b^{2}}$

Этап 2.2.3

Разделим $2$ на $1$ .

$2$