Элемент. математика Примеры

$\frac{\frac{21 y^{2} + 4 y - 1}{5 y + 3}}{\frac{3 y + 1}{10 y^{2} + y - 3}}$

Этап 1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{21 y^{2} + 4 y - 1}{5 y + 3} \cdot \frac{10 y^{2} + y - 3}{3 y + 1}$

Этап 2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 21 \cdot - 1 = - 21$ , а сумма — $b = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 y$ .

$\frac{21 y^{2} + 4 (y) - 1}{5 y + 3} \cdot \frac{10 y^{2} + y - 3}{3 y + 1}$

Этап 2.1.2

Запишем $4$ как $- 3$ плюс $7$

$\frac{21 y^{2} + (- 3 + 7) y - 1}{5 y + 3} \cdot \frac{10 y^{2} + y - 3}{3 y + 1}$

Этап 2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{21 y^{2} - 3 y + 7 y - 1}{5 y + 3} \cdot \frac{10 y^{2} + y - 3}{3 y + 1}$

Этап 2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(21 y^{2} - 3 y) + 7 y - 1}{5 y + 3} \cdot \frac{10 y^{2} + y - 3}{3 y + 1}$

Этап 2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{3 y (7 y - 1) + 1 (7 y - 1)}{5 y + 3} \cdot \frac{10 y^{2} + y - 3}{3 y + 1}$

Этап 2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $7 y - 1$ .

$\frac{(7 y - 1) (3 y + 1)}{5 y + 3} \cdot \frac{10 y^{2} + y - 3}{3 y + 1}$

Этап 3

Сократим общий множитель $3 y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $3 y + 1$ из $(7 y - 1) (3 y + 1)$ .

$\frac{(3 y + 1) (7 y - 1)}{5 y + 3} \cdot \frac{10 y^{2} + y - 3}{3 y + 1}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(3 y + 1) (7 y - 1)}{5 y + 3} \cdot \frac{10 y^{2} + y - 3}{3 y + 1}$

Этап 3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{7 y - 1}{5 y + 3} (10 y^{2} + y - 3)$

Этап 4

Умножим $\frac{7 y - 1}{5 y + 3}$ на $10 y^{2} + y - 3$ .

$\frac{(7 y - 1) (10 y^{2} + y - 3)}{5 y + 3}$

Этап 5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 10 \cdot - 3 = - 30$ , а сумма — $b = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим на $1$ .

$\frac{(7 y - 1) (10 y^{2} + 1 y - 3)}{5 y + 3}$

Этап 5.1.2

Запишем $1$ как $- 5$ плюс $6$

$\frac{(7 y - 1) (10 y^{2} + (- 5 + 6) y - 3)}{5 y + 3}$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(7 y - 1) (10 y^{2} - 5 y + 6 y - 3)}{5 y + 3}$

Этап 5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(7 y - 1) ((10 y^{2} - 5 y) + 6 y - 3)}{5 y + 3}$

Этап 5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{(7 y - 1) (5 y (2 y - 1) + 3 (2 y - 1))}{5 y + 3}$

Этап 5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 y - 1$ .

$\frac{(7 y - 1) ((2 y - 1) (5 y + 3))}{5 y + 3}$

$\frac{(7 y - 1) (2 y - 1) (5 y + 3)}{5 y + 3}$

Этап 6

Сократим общий множитель $5 y + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(7 y - 1) (2 y - 1) (5 y + 3)}{5 y + 3}$

Этап 6.2

Разделим $(7 y - 1) (2 y - 1)$ на $1$ .

$(7 y - 1) (2 y - 1)$

Этап 7

Развернем $(7 y - 1) (2 y - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$7 y (2 y - 1) - 1 (2 y - 1)$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$7 y (2 y) + 7 y \cdot - 1 - 1 (2 y - 1)$

Этап 7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$7 y (2 y) + 7 y \cdot - 1 - 1 (2 y) - 1 \cdot - 1$

Этап 8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$7 \cdot 2 y \cdot y + 7 y \cdot - 1 - 1 (2 y) - 1 \cdot - 1$

Этап 8.1.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Перенесем $y$ .

$7 \cdot 2 (y \cdot y) + 7 y \cdot - 1 - 1 (2 y) - 1 \cdot - 1$

Этап 8.1.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$7 \cdot 2 y^{2} + 7 y \cdot - 1 - 1 (2 y) - 1 \cdot - 1$

Этап 8.1.3

Умножим $7$ на $2$ .

$14 y^{2} + 7 y \cdot - 1 - 1 (2 y) - 1 \cdot - 1$

Этап 8.1.4

Умножим $- 1$ на $7$ .

$14 y^{2} - 7 y - 1 (2 y) - 1 \cdot - 1$

Этап 8.1.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$14 y^{2} - 7 y - 2 y - 1 \cdot - 1$

Этап 8.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$14 y^{2} - 7 y - 2 y + 1$

Этап 8.2

Вычтем $2 y$ из $- 7 y$ .

$14 y^{2} - 9 y + 1$