Элемент. математика Примеры

$\frac{m^{3} - m n^{2}}{m n^{2} + m^{2} n - 2 m^{3}}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $m$ из $m^{3} - m n^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $m$ из $m^{3}$ .

$\frac{m \cdot m^{2} - m n^{2}}{m n^{2} + m^{2} n - 2 m^{3}}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $m$ из $- m n^{2}$ .

$\frac{m \cdot m^{2} + m (- 1 n^{2})}{m n^{2} + m^{2} n - 2 m^{3}}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $m$ из $m \cdot m^{2} + m (- 1 n^{2})$ .

$\frac{m (m^{2} - 1 n^{2})}{m n^{2} + m^{2} n - 2 m^{3}}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = m$ и $b = n$ .

$\frac{m (m + n) (m - n)}{m n^{2} + m^{2} n - 2 m^{3}}$

Этап 2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $m$ из $m n^{2} + m^{2} n - 2 m^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $m$ из $m n^{2}$ .

$\frac{m (m + n) (m - n)}{m (n^{2}) + m^{2} n - 2 m^{3}}$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $m$ из $m^{2} n$ .

$\frac{m (m + n) (m - n)}{m (n^{2}) + m (m n) - 2 m^{3}}$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $m$ из $- 2 m^{3}$ .

$\frac{m (m + n) (m - n)}{m (n^{2}) + m (m n) + m (- 2 m^{2})}$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $m$ из $m (n^{2}) + m (m n)$ .

$\frac{m (m + n) (m - n)}{m (n^{2} + m n) + m (- 2 m^{2})}$

Этап 2.1.5

Вынесем множитель $m$ из $m (n^{2} + m n) + m (- 2 m^{2})$ .

$\frac{m (m + n) (m - n)}{m (n^{2} + m n - 2 m^{2})}$

Этап 2.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ , а сумма — $b = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Изменим порядок членов.

$\frac{m (m + n) (m - n)}{m (- 2 m^{2} + n^{2} + m n)}$

Этап 2.2.1.2

Изменим порядок $n^{2}$ и $m n$ .

$\frac{m (m + n) (m - n)}{m (- 2 m^{2} + m n + n^{2})}$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $1$ из $m n$ .

$\frac{m (m + n) (m - n)}{m (- 2 m^{2} + 1 (m n) + n^{2})}$

Этап 2.2.1.4

Запишем $1$ как $- 1$ плюс $2$

$\frac{m (m + n) (m - n)}{m (- 2 m^{2} + (- 1 + 2) (m n) + n^{2})}$

Этап 2.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{m (m + n) (m - n)}{m (- 2 m^{2} - 1 (m n) + 2 (m n) + n^{2})}$

Этап 2.2.1.6

Перенесем круглые скобки.

$\frac{m (m + n) (m - n)}{m (- 2 m^{2} - 1 m n + 2 m n + n^{2})}$

Этап 2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{m (m + n) (m - n)}{m ((- 2 m^{2} - 1 m n) + 2 m n + n^{2})}$

Этап 2.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{m (m + n) (m - n)}{m (m (- 2 m - 1 n) - n (- 2 m - n))}$

Этап 2.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 2 m - 1 n$ .

$\frac{m (m + n) (m - n)}{m ((- 2 m - 1 n) (m - n))}$

Этап 2.3

Перепишем $- 1 n$ в виде $- n$ .

$\frac{m (m + n) (m - n)}{m (- 2 m - n) (m - n)}$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{m (m + n) (m - n)}{m (- 2 m - n) (m - n)}$

Этап 3.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(m + n) (m - n)}{(- 2 m - n) (m - n)}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $m - n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(m + n) (m - n)}{(- 2 m - n) (m - n)}$

Этап 3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{m + n}{- 2 m - n}$

Этап 3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 m$ .

$\frac{m + n}{- (2 m) - n}$

Этап 3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- n$ .

$\frac{m + n}{- (2 m) - (n)}$

Этап 3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 m) - (n)$ .

$\frac{m + n}{- (2 m + n)}$

Этап 3.6

Перепишем отрицательные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перепишем $- (2 m + n)$ в виде $- 1 (2 m + n)$ .

$\frac{m + n}{- 1 (2 m + n)}$

Этап 3.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{m + n}{2 m + n}$