Элемент. математика Примеры

$(k^{3} + 18 k^{2} + 84 k + 40) \div (k + 10)$

Этап 1

Разложим $k^{3} + 18 k^{2} + 84 k + 40$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 40, \pm 2, \pm 20, \pm 4, \pm 10, \pm 5, \pm 8$

$q = \pm 1$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 40, \pm 2, \pm 20, \pm 4, \pm 10, \pm 5, \pm 8$

Этап 1.3

Подставим $- 10$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 10$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $- 10$ в многочлен.

${(- 10)}^{3} + 18 {(- 10)}^{2} + 84 \cdot - 10 + 40$

Этап 1.3.2

Возведем $- 10$ в степень $3$ .

$- 1000 + 18 {(- 10)}^{2} + 84 \cdot - 10 + 40$

Этап 1.3.3

Возведем $- 10$ в степень $2$ .

$- 1000 + 18 \cdot 100 + 84 \cdot - 10 + 40$

Этап 1.3.4

Умножим $18$ на $100$ .

$- 1000 + 1800 + 84 \cdot - 10 + 40$

Этап 1.3.5

Добавим $- 1000$ и $1800$ .

$800 + 84 \cdot - 10 + 40$

Этап 1.3.6

Умножим $84$ на $- 10$ .

$800 - 840 + 40$

Этап 1.3.7

Вычтем $840$ из $800$ .

$- 40 + 40$

Этап 1.3.8

Добавим $- 40$ и $40$ .

$0$

Этап 1.4

Поскольку $- 10$ — известный корень, разделим многочлен на $k + 10$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{k^{3} + 18 k^{2} + 84 k + 40}{k + 10}$

Этап 1.5

Разделим $k^{3} + 18 k^{2} + 84 k + 40$ на $k + 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$k$

$10$

$k^{3}$

$18 k^{2}$

$84 k$

$40$

Этап 1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $k^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $k$ .

					$k^{2}$
	$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$

Этап 1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$k^{2}$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			+	$k^{3}$	+	$10 k^{2}$

Этап 1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $k^{3} + 10 k^{2}$ .

				$k^{2}$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$

Этап 1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$k^{2}$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$

Этап 1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$k^{2}$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$

Этап 1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $8 k^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $k$ .

				$k^{2}$	+	$8 k$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$

Этап 1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$k^{2}$	+	$8 k$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$
					+	$8 k^{2}$	+	$80 k$

Этап 1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $8 k^{2} + 80 k$ .

				$k^{2}$	+	$8 k$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$
					-	$8 k^{2}$	-	$80 k$

Этап 1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$k^{2}$	+	$8 k$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$
					-	$8 k^{2}$	-	$80 k$
							+	$4 k$

Этап 1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$k^{2}$	+	$8 k$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$
					-	$8 k^{2}$	-	$80 k$
							+	$4 k$	+	$40$

Этап 1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 k$ на член с максимальной степенью в делителе $k$ .

				$k^{2}$	+	$8 k$	+	$4$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$
					-	$8 k^{2}$	-	$80 k$
							+	$4 k$	+	$40$

Этап 1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$k^{2}$	+	$8 k$	+	$4$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$
					-	$8 k^{2}$	-	$80 k$
							+	$4 k$	+	$40$
							+	$4 k$	+	$40$

Этап 1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 k + 40$ .

				$k^{2}$	+	$8 k$	+	$4$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$
					-	$8 k^{2}$	-	$80 k$
							+	$4 k$	+	$40$
							-	$4 k$	-	$40$

Этап 1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$k^{2}$	+	$8 k$	+	$4$
$k$	+	$10$		$k^{3}$	+	$18 k^{2}$	+	$84 k$	+	$40$
			-	$k^{3}$	-	$10 k^{2}$
					+	$8 k^{2}$	+	$84 k$
					-	$8 k^{2}$	-	$80 k$
							+	$4 k$	+	$40$
							-	$4 k$	-	$40$
										$0$

Этап 1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$k^{2} + 8 k + 4$

Этап 1.6

Запишем $k^{3} + 18 k^{2} + 84 k + 40$ в виде набора множителей.

$(k + 10) (k^{2} + 8 k + 4) \div (k + 10)$

Этап 2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим выражение $(k + 10) (k^{2} + 8 k + 4) \div (k + 10)$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель.

$(k + 10) (k^{2} + 8 k + 4) \div (k + 10)$

Этап 2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{k^{2} + 8 k + 4}{1}$

Этап 2.2

Разделим $k^{2} + 8 k + 4$ на $1$ .

$k^{2} + 8 k + 4$