Элемент. математика Примеры

(a^{5} - 3 a^{4} + a^{3} + 2 a - 1) \div (a + 3)

$(a^{5} - 3 a^{4} + a^{3} + 2 a - 1) \div (a + 3)$

Этап 1

Перегруппируем члены.

(a^{5} - 1 - 3 a^{4} + a^{3} + 2 a) \div (a + 3)

$(a^{5} - 1 - 3 a^{4} + a^{3} + 2 a) \div (a + 3)$

Этап 2

Разложим

a^{5} - 1

$a^{5} - 1$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ , где

p

$p$ — делитель константы, а

q

$q$ — делитель старшего коэффициента.

p = \pm 1

$p = \pm 1$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

Этап 2.2

Найдем все комбинации

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

\pm 1

$\pm 1$

Этап 2.3

Подставим

1

$1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно

0

$0$ , поэтому

1

$1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Подставим

1

$1$ в многочлен.

1^{5} - 1

$1^{5} - 1$

Этап 2.3.2

Возведем

1

$1$ в степень

5

$5$ .

1 - 1

$1 - 1$

Этап 2.3.3

Вычтем

1

$1$ из

1

$1$ .

0

$0$

0

$0$

Этап 2.4

Поскольку

1

$1$ — известный корень, разделим многочлен на

a - 1

$a - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

\frac{a^{5} - 1}{a - 1}

$\frac{a^{5} - 1}{a - 1}$

Этап 2.5

Разделим

a^{5} - 1

$a^{5} - 1$ на

a - 1

$a - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением

0

$0$ .

a

$a$

1

$1$

a^{5}

$a^{5}$

0 a^{4}

$0 a^{4}$

0 a^{3}

$0 a^{3}$

0 a^{2}

$0 a^{2}$

0 a

$0 a$

1

$1$

Этап 2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом

a^{5}

$a^{5}$ на член с максимальной степенью в делителе

a

$a$ .

a^{4}

$a^{4}$

a

$a$

1

$1$

a^{5}

$a^{5}$

0 a^{4}

$0 a^{4}$

0 a^{3}

$0 a^{3}$

0 a^{2}

$0 a^{2}$

0 a

$0 a$

1

$1$

Этап 2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

a^{4}

$a^{4}$

a

$a$

1

$1$

a^{5}

$a^{5}$

0 a^{4}

$0 a^{4}$

0 a^{3}

$0 a^{3}$

0 a^{2}

$0 a^{2}$

0 a

$0 a$

1

$1$

a^{5}

$a^{5}$

a^{4}

$a^{4}$

Этап 2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в

a^{5} - a^{4}

$a^{5} - a^{4}$ .

a^{4}

$a^{4}$

a

$a$

1

$1$

a^{5}

$a^{5}$

0 a^{4}

$0 a^{4}$

0 a^{3}

$0 a^{3}$

0 a^{2}

$0 a^{2}$

0 a

$0 a$

1

$1$

a^{5}

$a^{5}$

a^{4}

$a^{4}$

Этап 2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

a^{4}

$a^{4}$

a

$a$

1

$1$

a^{5}

$a^{5}$

0 a^{4}

$0 a^{4}$

0 a^{3}

$0 a^{3}$

0 a^{2}

$0 a^{2}$

0 a

$0 a$

1

$1$

a^{5}

$a^{5}$

a^{4}

$a^{4}$

a^{4}

$a^{4}$

Этап 2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

a^{4}

$a^{4}$

a

$a$

1

$1$

a^{5}

$a^{5}$

0 a^{4}

$0 a^{4}$

0 a^{3}

$0 a^{3}$

0 a^{2}

$0 a^{2}$

0 a

$0 a$

1

$1$

a^{5}

$a^{5}$

a^{4}

$a^{4}$

a^{4}

$a^{4}$

0 a^{3}

$0 a^{3}$

Этап 2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом

a^{4}

$a^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе

a

$a$ .

a^{4}

$a^{4}$

a^{3}

$a^{3}$

a

$a$

1

$1$

a^{5}

$a^{5}$

0 a^{4}

$0 a^{4}$

0 a^{3}

$0 a^{3}$

0 a^{2}

$0 a^{2}$

0 a

$0 a$

1

$1$

a^{5}

$a^{5}$

a^{4}

$a^{4}$

a^{4}

$a^{4}$

0 a^{3}

$0 a^{3}$

Этап 2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

a^{4}

$a^{4}$

a^{3}

$a^{3}$

a

$a$

1

$1$

a^{5}

$a^{5}$

0 a^{4}

$0 a^{4}$

0 a^{3}

$0 a^{3}$

0 a^{2}

$0 a^{2}$

0 a

$0 a$

1

$1$

a^{5}

$a^{5}$

a^{4}

$a^{4}$

a^{4}

$a^{4}$

0 a^{3}

$0 a^{3}$

a^{4}

$a^{4}$

a^{3}

$a^{3}$

Этап 2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в

a^{4} - a^{3}

$a^{4} - a^{3}$ .

a^{4}

$a^{4}$

a^{3}

$a^{3}$

a

$a$

1

$1$

a^{5}

$a^{5}$

0 a^{4}

$0 a^{4}$

0 a^{3}

$0 a^{3}$

0 a^{2}

$0 a^{2}$

0 a

$0 a$

1

$1$

a^{5}

$a^{5}$

a^{4}

$a^{4}$

a^{4}

$a^{4}$

0 a^{3}

$0 a^{3}$

a^{4}

$a^{4}$

a^{3}

$a^{3}$

Этап 2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

a^{4}

$a^{4}$

a^{3}

$a^{3}$

a

$a$

1

$1$

a^{5}

$a^{5}$

0 a^{4}

$0 a^{4}$

0 a^{3}

$0 a^{3}$

0 a^{2}

$0 a^{2}$

0 a

$0 a$

1

$1$

a^{5}

$a^{5}$

a^{4}

$a^{4}$

a^{4}

$a^{4}$

0 a^{3}

$0 a^{3}$

a^{4}

$a^{4}$

a^{3}

$a^{3}$

a^{3}

$a^{3}$

Этап 2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

a^{4}

$a^{4}$

a^{3}

$a^{3}$

a

$a$

1

$1$

a^{5}

$a^{5}$

0 a^{4}

$0 a^{4}$

0 a^{3}

$0 a^{3}$

0 a^{2}

$0 a^{2}$

0 a

$0 a$

1

$1$

a^{5}

$a^{5}$

a^{4}

$a^{4}$

a^{4}

$a^{4}$

0 a^{3}

$0 a^{3}$

a^{4}

$a^{4}$

a^{3}

$a^{3}$

a^{3}

$a^{3}$

0 a^{2}

$0 a^{2}$

Этап 2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом

a^{3}

$a^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе

a

$a$ .

a^{4}

$a^{4}$

a^{3}

$a^{3}$

a^{2}

$a^{2}$

a

$a$

1

$1$

a^{5}

$a^{5}$

0 a^{4}

$0 a^{4}$

0 a^{3}

$0 a^{3}$

0 a^{2}

$0 a^{2}$

0 a

$0 a$

1

$1$

a^{5}

$a^{5}$

a^{4}

$a^{4}$

a^{4}

$a^{4}$

0 a^{3}

$0 a^{3}$

a^{4}

$a^{4}$

a^{3}

$a^{3}$

a^{3}

$a^{3}$

0 a^{2}

$0 a^{2}$

Этап 2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

a^{4}

$a^{4}$

a^{3}

$a^{3}$

a^{2}

$a^{2}$

a

$a$

1

$1$

a^{5}

$a^{5}$

0 a^{4}

$0 a^{4}$

0 a^{3}

$0 a^{3}$

0 a^{2}

$0 a^{2}$

0 a

$0 a$

1

$1$

a^{5}

$a^{5}$

a^{4}

$a^{4}$

a^{4}

$a^{4}$

0 a^{3}

$0 a^{3}$

a^{4}

$a^{4}$

a^{3}

$a^{3}$

a^{3}

$a^{3}$

0 a^{2}

$0 a^{2}$

a^{3}

$a^{3}$

a^{2}

$a^{2}$

Этап 2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в

a^{3} - a^{2}

$a^{3} - a^{2}$ .

a^{4}

$a^{4}$

a^{3}

$a^{3}$

a^{2}

$a^{2}$

a

$a$

1

$1$

a^{5}

$a^{5}$

0 a^{4}

$0 a^{4}$

0 a^{3}

$0 a^{3}$

0 a^{2}

$0 a^{2}$

0 a

$0 a$

1

$1$

a^{5}

$a^{5}$

a^{4}

$a^{4}$

a^{4}

$a^{4}$

0 a^{3}

$0 a^{3}$

a^{4}

$a^{4}$

a^{3}

$a^{3}$

a^{3}

$a^{3}$

0 a^{2}

$0 a^{2}$

a^{3}

$a^{3}$

a^{2}

$a^{2}$

Этап 2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

a^{4}

$a^{4}$

a^{3}

$a^{3}$

a^{2}

$a^{2}$

a

$a$

1

$1$

a^{5}

$a^{5}$

0 a^{4}

$0 a^{4}$

0 a^{3}

$0 a^{3}$

0 a^{2}

$0 a^{2}$

0 a

$0 a$

1

$1$

a^{5}

$a^{5}$

a^{4}

$a^{4}$

a^{4}

$a^{4}$

0 a^{3}

$0 a^{3}$

a^{4}

$a^{4}$

a^{3}

$a^{3}$

a^{3}

$a^{3}$

0 a^{2}

$0 a^{2}$

a^{3}

$a^{3}$

a^{2}

$a^{2}$

a^{2}

$a^{2}$

Этап 2.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

a^{4}

$a^{4}$

a^{3}

$a^{3}$

a^{2}

$a^{2}$

a

$a$

1

$1$

a^{5}

$a^{5}$

0 a^{4}

$0 a^{4}$

0 a^{3}

$0 a^{3}$

0 a^{2}

$0 a^{2}$

0 a

$0 a$

1

$1$

a^{5}

$a^{5}$

a^{4}

$a^{4}$

a^{4}

$a^{4}$

0 a^{3}

$0 a^{3}$

a^{4}

$a^{4}$

a^{3}

$a^{3}$

a^{3}

$a^{3}$

0 a^{2}

$0 a^{2}$

a^{3}

$a^{3}$

a^{2}

$a^{2}$

a^{2}

$a^{2}$

0 a

$0 a$

Этап 2.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом

a^{2}

$a^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе

a

$a$ .

a^{4}

$a^{4}$

a^{3}

$a^{3}$

a^{2}

$a^{2}$

a

$a$

a

$a$

1

$1$

a^{5}

$a^{5}$

0 a^{4}

$0 a^{4}$

0 a^{3}

$0 a^{3}$

0 a^{2}

$0 a^{2}$

0 a

$0 a$

1

$1$

a^{5}

$a^{5}$

a^{4}

$a^{4}$

a^{4}

$a^{4}$

0 a^{3}

$0 a^{3}$

a^{4}

$a^{4}$

a^{3}

$a^{3}$

a^{3}

$a^{3}$

0 a^{2}

$0 a^{2}$

a^{3}

$a^{3}$

a^{2}

$a^{2}$

a^{2}

$a^{2}$

0 a

$0 a$

Этап 2.5.18

Умножим новое частное на делитель.

a^{4}

$a^{4}$

a^{3}

$a^{3}$

a^{2}

$a^{2}$

a

$a$

a

$a$

1

$1$

a^{5}

$a^{5}$

0 a^{4}

$0 a^{4}$

0 a^{3}

$0 a^{3}$

0 a^{2}

$0 a^{2}$

0 a

$0 a$

1

$1$

a^{5}

$a^{5}$

a^{4}

$a^{4}$

a^{4}

$a^{4}$

0 a^{3}

$0 a^{3}$

a^{4}

$a^{4}$

a^{3}

$a^{3}$

a^{3}

$a^{3}$

0 a^{2}

$0 a^{2}$

a^{3}

$a^{3}$

a^{2}

$a^{2}$

a^{2}

$a^{2}$

0 a

$0 a$

a^{2}

$a^{2}$

a

$a$

Этап 2.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в

a^{2} - a

$a^{2} - a$ .

a^{4}

$a^{4}$

a^{3}

$a^{3}$

a^{2}

$a^{2}$

a

$a$

a

$a$

1

$1$

a^{5}

$a^{5}$

0 a^{4}

$0 a^{4}$

0 a^{3}

$0 a^{3}$

0 a^{2}

$0 a^{2}$

0 a

$0 a$

1

$1$

a^{5}

$a^{5}$

a^{4}

$a^{4}$

a^{4}

$a^{4}$

0 a^{3}

$0 a^{3}$

a^{4}

$a^{4}$

a^{3}

$a^{3}$

a^{3}

$a^{3}$

0 a^{2}

$0 a^{2}$

a^{3}

$a^{3}$

a^{2}

$a^{2}$

a^{2}

$a^{2}$

0 a

$0 a$

a^{2}

$a^{2}$

a

$a$

Этап 2.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

a^{4}

$a^{4}$

a^{3}

$a^{3}$

a^{2}

$a^{2}$

a

$a$

a

$a$

1

$1$

a^{5}

$a^{5}$

0 a^{4}

$0 a^{4}$

0 a^{3}

$0 a^{3}$

0 a^{2}

$0 a^{2}$

0 a

$0 a$

1

$1$

a^{5}

$a^{5}$

a^{4}

$a^{4}$

a^{4}

$a^{4}$

0 a^{3}

$0 a^{3}$

a^{4}

$a^{4}$

a^{3}

$a^{3}$

a^{3}

$a^{3}$

0 a^{2}

$0 a^{2}$

a^{3}

$a^{3}$

a^{2}

$a^{2}$

a^{2}

$a^{2}$

0 a

$0 a$

a^{2}

$a^{2}$

a

$a$

a

$a$

Этап 2.5.21

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

a^{4}

$a^{4}$

a^{3}

$a^{3}$

a^{2}

$a^{2}$

a

$a$

a

$a$

1

$1$

a^{5}

$a^{5}$

0 a^{4}

$0 a^{4}$

0 a^{3}

$0 a^{3}$

0 a^{2}

$0 a^{2}$

0 a

$0 a$

1

$1$

a^{5}

$a^{5}$

a^{4}

$a^{4}$

a^{4}

$a^{4}$

0 a^{3}

$0 a^{3}$

a^{4}

$a^{4}$

a^{3}

$a^{3}$

a^{3}

$a^{3}$

0 a^{2}

$0 a^{2}$

a^{3}

$a^{3}$

a^{2}

$a^{2}$

a^{2}

$a^{2}$

0 a

$0 a$

a^{2}

$a^{2}$

a

$a$

a

$a$

1

$1$

Этап 2.5.22

Разделим член с максимальной степенью в делимом

a

$a$ на член с максимальной степенью в делителе

a

$a$ .

a^{4}

$a^{4}$

a^{3}

$a^{3}$

a^{2}

$a^{2}$

a

$a$

1

$1$

a

$a$

1

$1$

a^{5}

$a^{5}$

0 a^{4}

$0 a^{4}$

0 a^{3}

$0 a^{3}$

0 a^{2}

$0 a^{2}$

0 a

$0 a$

1

$1$

a^{5}

$a^{5}$

a^{4}

$a^{4}$

a^{4}

$a^{4}$

0 a^{3}

$0 a^{3}$

a^{4}

$a^{4}$

a^{3}

$a^{3}$

a^{3}

$a^{3}$

0 a^{2}

$0 a^{2}$

a^{3}

$a^{3}$

a^{2}

$a^{2}$

a^{2}

$a^{2}$

0 a

$0 a$

a^{2}

$a^{2}$

a

$a$

a

$a$

1

$1$

Этап 2.5.23

Умножим новое частное на делитель.

a^{4}

$a^{4}$

a^{3}

$a^{3}$

a^{2}

$a^{2}$

a

$a$

1

$1$

a

$a$

1

$1$

a^{5}

$a^{5}$

0 a^{4}

$0 a^{4}$

0 a^{3}

$0 a^{3}$

0 a^{2}

$0 a^{2}$

0 a

$0 a$

$1$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$0 a^{2}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$0 a$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a$

$1$

Этап 2.5.24

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в

$a - 1$ .

$a^{4}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a$

$1$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$0 a^{2}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$0 a$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a$

$1$

Этап 2.5.25

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$a^{4}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a$

$1$

$a^{5}$

$0 a^{4}$

$0 a^{3}$

$0 a^{2}$

$0 a$

$1$

$a^{5}$

$a^{4}$

$0 a^{3}$

$a^{4}$

$a^{3}$

$0 a^{2}$

$a^{3}$

$a^{2}$

$0 a$

$a^{2}$

$a$

$1$

$a$

$1$

$0$

Этап 2.5.26

Поскольку остаток равен

$0$ , окончательным ответом является частное.

$a^{4} + a^{3} + a^{2} + a + 1$

Этап 2.6

Запишем

$a^{5} - 1$ в виде набора множителей.

$((a - 1) (a^{4} + a^{3} + a^{2} + a + 1) - 3 a^{4} + a^{3} + 2 a) \div (a + 3)$

Этап 3

Вынесем множитель

$a$ из

$- 3 a^{4} + a^{3} + 2 a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель

$a$ из

$- 3 a^{4}$ .

$((a - 1) (a^{4} + a^{3} + a^{2} + a + 1) + a (- 3 a^{3}) + a^{3} + 2 a) \div (a + 3)$

Этап 3.2

Вынесем множитель

$a$ из

$a^{3}$ .

$((a - 1) (a^{4} + a^{3} + a^{2} + a + 1) + a (- 3 a^{3}) + a \cdot a^{2} + 2 a) \div (a + 3)$

Этап 3.3

Вынесем множитель

$a$ из

$2 a$ .

$((a - 1) (a^{4} + a^{3} + a^{2} + a + 1) + a (- 3 a^{3}) + a \cdot a^{2} + a \cdot 2) \div (a + 3)$

Этап 3.4

Вынесем множитель

$a$ из

$a (- 3 a^{3}) + a \cdot a^{2}$ .

$((a - 1) (a^{4} + a^{3} + a^{2} + a + 1) + a (- 3 a^{3} + a^{2}) + a \cdot 2) \div (a + 3)$

Этап 3.5

Вынесем множитель

$a$ из

$a (- 3 a^{3} + a^{2}) + a \cdot 2$ .

$((a - 1) (a^{4} + a^{3} + a^{2} + a + 1) + a (- 3 a^{3} + a^{2} + 2)) \div (a + 3)$

Этап 4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разложим

$- 3 a^{3} + a^{2} + 2$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид

$\frac{p}{q}$ , где

$p$ — делитель константы, а

$q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 3$

Этап 4.1.2

Найдем все комбинации

$\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}$

Этап 4.1.3

Подставим

$1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно

$0$ , поэтому

$1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Подставим

$1$ в многочлен.

$- 3 \cdot 1^{3} + 1^{2} + 2$

Этап 4.1.3.2

Возведем

$1$ в степень

$3$ .

$- 3 \cdot 1 + 1^{2} + 2$

Этап 4.1.3.3

Умножим

$- 3$ на

$1$ .

$- 3 + 1^{2} + 2$

Этап 4.1.3.4

Возведем

$1$ в степень

$2$ .

$- 3 + 1 + 2$

Этап 4.1.3.5

Добавим

$- 3$ и

$1$ .

$- 2 + 2$

Этап 4.1.3.6

Добавим

$- 2$ и

$2$ .

$0$

Этап 4.1.4

Поскольку

$1$ — известный корень, разделим многочлен на

$\frac{- 3 a^{3} + a^{2} + 2}{a - 1}$

Этап 4.1.5

Разделим

$- 3 a^{3} + a^{2} + 2$ на

$a - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

$0$ .

$a$

$1$

$3 a^{3}$

$a^{2}$

$0 a$

$2$

Этап 4.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом

$- 3 a^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе

$a$ .

				-	$3 a^{2}$
	$a$	-	$1$	-	$3 a^{3}$	+	$a^{2}$	+	$0 a$	+	$2$

Этап 4.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$3 a^{2}$
$a$	-	$1$	-	$3 a^{3}$	+	$a^{2}$	+	$0 a$	+	$2$
			-	$3 a^{3}$	+	$3 a^{2}$

Этап 4.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в

$- 3 a^{3} + 3 a^{2}$ .

			-	$3 a^{2}$
$a$	-	$1$	-	$3 a^{3}$	+	$a^{2}$	+	$0 a$	+	$2$
			+	$3 a^{3}$	-	$3 a^{2}$

Этап 4.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$3 a^{2}$
$a$	-	$1$	-	$3 a^{3}$	+	$a^{2}$	+	$0 a$	+	$2$
			+	$3 a^{3}$	-	$3 a^{2}$
					-	$2 a^{2}$

Этап 4.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$3 a^{2}$
$a$	-	$1$	-	$3 a^{3}$	+	$a^{2}$	+	$0 a$	+	$2$
			+	$3 a^{3}$	-	$3 a^{2}$
					-	$2 a^{2}$	+	$0 a$

Этап 4.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом

$- 2 a^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе

$a$ .

			-	$3 a^{2}$	-	$2 a$
$a$	-	$1$	-	$3 a^{3}$	+	$a^{2}$	+	$0 a$	+	$2$
			+	$3 a^{3}$	-	$3 a^{2}$
					-	$2 a^{2}$	+	$0 a$

Этап 4.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

			-	$3 a^{2}$	-	$2 a$
$a$	-	$1$	-	$3 a^{3}$	+	$a^{2}$	+	$0 a$	+	$2$
			+	$3 a^{3}$	-	$3 a^{2}$
					-	$2 a^{2}$	+	$0 a$
					-	$2 a^{2}$	+	$2 a$

Этап 4.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в

$- 2 a^{2} + 2 a$ .

			-	$3 a^{2}$	-	$2 a$
$a$	-	$1$	-	$3 a^{3}$	+	$a^{2}$	+	$0 a$	+	$2$
			+	$3 a^{3}$	-	$3 a^{2}$
					-	$2 a^{2}$	+	$0 a$
					+	$2 a^{2}$	-	$2 a$

Этап 4.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$3 a^{2}$	-	$2 a$
$a$	-	$1$	-	$3 a^{3}$	+	$a^{2}$	+	$0 a$	+	$2$
			+	$3 a^{3}$	-	$3 a^{2}$
					-	$2 a^{2}$	+	$0 a$
					+	$2 a^{2}$	-	$2 a$
							-	$2 a$

Этап 4.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$3 a^{2}$	-	$2 a$
$a$	-	$1$	-	$3 a^{3}$	+	$a^{2}$	+	$0 a$	+	$2$
			+	$3 a^{3}$	-	$3 a^{2}$
					-	$2 a^{2}$	+	$0 a$
					+	$2 a^{2}$	-	$2 a$
							-	$2 a$	+	$2$

Этап 4.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом

$- 2 a$ на член с максимальной степенью в делителе

$a$ .

			-	$3 a^{2}$	-	$2 a$	-	$2$
$a$	-	$1$	-	$3 a^{3}$	+	$a^{2}$	+	$0 a$	+	$2$
			+	$3 a^{3}$	-	$3 a^{2}$
					-	$2 a^{2}$	+	$0 a$
					+	$2 a^{2}$	-	$2 a$
							-	$2 a$	+	$2$

Этап 4.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

			-	$3 a^{2}$	-	$2 a$	-	$2$
$a$	-	$1$	-	$3 a^{3}$	+	$a^{2}$	+	$0 a$	+	$2$
			+	$3 a^{3}$	-	$3 a^{2}$
					-	$2 a^{2}$	+	$0 a$
					+	$2 a^{2}$	-	$2 a$
							-	$2 a$	+	$2$
							-	$2 a$	+	$2$

Этап 4.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в

$- 2 a + 2$ .

			-	$3 a^{2}$	-	$2 a$	-	$2$
$a$	-	$1$	-	$3 a^{3}$	+	$a^{2}$	+	$0 a$	+	$2$
			+	$3 a^{3}$	-	$3 a^{2}$
					-	$2 a^{2}$	+	$0 a$
					+	$2 a^{2}$	-	$2 a$
							-	$2 a$	+	$2$
							+	$2 a$	-	$2$

Этап 4.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$3 a^{2}$	-	$2 a$	-	$2$
$a$	-	$1$	-	$3 a^{3}$	+	$a^{2}$	+	$0 a$	+	$2$
			+	$3 a^{3}$	-	$3 a^{2}$
					-	$2 a^{2}$	+	$0 a$
					+	$2 a^{2}$	-	$2 a$
							-	$2 a$	+	$2$
							+	$2 a$	-	$2$
										$0$

Этап 4.1.5.16

Поскольку остаток равен

$0$ , окончательным ответом является частное.

$- 3 a^{2} - 2 a - 2$

Этап 4.1.6

Запишем

$- 3 a^{3} + a^{2} + 2$ в виде набора множителей.

$((a - 1) (a^{4} + a^{3} + a^{2} + a + 1) + a ((a - 1) (- 3 a^{2} - 2 a - 2))) \div (a + 3)$

Этап 4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$((a - 1) (a^{4} + a^{3} + a^{2} + a + 1) + a (a - 1) (- 3 a^{2} - 2 a - 2)) \div (a + 3)$

Этап 5

Вынесем множитель

$a - 1$ из

$(a - 1) (a^{4} + a^{3} + a^{2} + a + 1) + a (a - 1) (- 3 a^{2} - 2 a - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель

$a - 1$ из

$a (a - 1) (- 3 a^{2} - 2 a - 2)$ .

$((a - 1) (a^{4} + a^{3} + a^{2} + a + 1) + (a - 1) (a (- 3 a^{2} - 2 a - 2))) \div (a + 3)$

Этап 5.2

Вынесем множитель

$a - 1$ из

$(a - 1) (a^{4} + a^{3} + a^{2} + a + 1) + (a - 1) (a (- 3 a^{2} - 2 a - 2))$ .

$(a - 1) (a^{4} + a^{3} + a^{2} + a + 1 + a (- 3 a^{2} - 2 a - 2)) \div (a + 3)$

Этап 6

Применим свойство дистрибутивности.

$(a - 1) (a^{4} + a^{3} + a^{2} + a + 1 + a (- 3 a^{2}) + a (- 2 a) + a \cdot - 2) \div (a + 3)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(a - 1) (a^{4} + a^{3} + a^{2} + a + 1 - 3 a \cdot a^{2} + a (- 2 a) + a \cdot - 2) \div (a + 3)$

Этап 7.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(a - 1) (a^{4} + a^{3} + a^{2} + a + 1 - 3 a \cdot a^{2} - 2 a \cdot a + a \cdot - 2) \div (a + 3)$

Этап 7.3

Перенесем

$- 2$ влево от

$a$ .

$(a - 1) (a^{4} + a^{3} + a^{2} + a + 1 - 3 a \cdot a^{2} - 2 a \cdot a - 2 \cdot a) \div (a + 3)$

Этап 8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим

$a$ на

$a^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Перенесем

$a^{2}$ .

$(a - 1) (a^{4} + a^{3} + a^{2} + a + 1 - 3 (a^{2} a) - 2 a \cdot a - 2 \cdot a) \div (a + 3)$

Этап 8.1.2

Умножим

$a^{2}$ на

$a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Возведем

$a$ в степень

$1$ .

$(a - 1) (a^{4} + a^{3} + a^{2} + a + 1 - 3 (a^{2} a^{1}) - 2 a \cdot a - 2 \cdot a) \div (a + 3)$

Этап 8.1.2.2

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(a - 1) (a^{4} + a^{3} + a^{2} + a + 1 - 3 a^{2 + 1} - 2 a \cdot a - 2 \cdot a) \div (a + 3)$

Этап 8.1.3

Добавим

$2$ и

$1$ .

$(a - 1) (a^{4} + a^{3} + a^{2} + a + 1 - 3 a^{3} - 2 a \cdot a - 2 \cdot a) \div (a + 3)$

Этап 8.2

Умножим

$a$ на

$a$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Перенесем

$a$ .

$(a - 1) (a^{4} + a^{3} + a^{2} + a + 1 - 3 a^{3} - 2 (a \cdot a) - 2 \cdot a) \div (a + 3)$

Этап 8.2.2

Умножим

$a$ на

$a$ .

$(a - 1) (a^{4} + a^{3} + a^{2} + a + 1 - 3 a^{3} - 2 a^{2} - 2 \cdot a) \div (a + 3)$

$(a - 1) (a^{4} + a^{3} + a^{2} + a + 1 - 3 a^{3} - 2 a^{2} - 2 a) \div (a + 3)$

Этап 9

Вычтем

$3 a^{3}$ из

$a^{3}$ .

$(a - 1) (a^{4} - 2 a^{3} + a^{2} + a + 1 - 2 a^{2} - 2 a) \div (a + 3)$

Этап 10

Вычтем

$2 a^{2}$ из

$a^{2}$ .

$(a - 1) (a^{4} - 2 a^{3} - a^{2} + a + 1 - 2 a) \div (a + 3)$

Этап 11

Вычтем

$2 a$ из

$a$ .

$(a - 1) (a^{4} - 2 a^{3} - a^{2} - a + 1) \div (a + 3)$