Элемент. математика Примеры

\frac{3 - i}{2 + 3 i}

$\frac{3 - i}{2 + 3 i}$

Этап 1

Умножим числитель и знаменатель

\frac{3 - i}{2 + 3 i}

$\frac{3 - i}{2 + 3 i}$ на комплексно сопряженное

2 + 3 i

$2 + 3 i$ , чтобы сделать знаменатель вещественным.

\frac{3 - i}{2 + 3 i} \cdot \frac{2 - 3 i}{2 - 3 i}

$\frac{3 - i}{2 + 3 i} \cdot \frac{2 - 3 i}{2 - 3 i}$

Этап 2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим.

\frac{(3 - i) (2 - 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}

$\frac{(3 - i) (2 - 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Этап 2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Развернем

(3 - i) (2 - 3 i)

$(3 - i) (2 - 3 i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

\frac{3 (2 - 3 i) - i (2 - 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}

$\frac{3 (2 - 3 i) - i (2 - 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Этап 2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

\frac{3 \cdot 2 + 3 (- 3 i) - i (2 - 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}

$\frac{3 \cdot 2 + 3 (- 3 i) - i (2 - 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Этап 2.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

\frac{3 \cdot 2 + 3 (- 3 i) - i \cdot 2 - i (- 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}

$\frac{3 \cdot 2 + 3 (- 3 i) - i \cdot 2 - i (- 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

\frac{3 \cdot 2 + 3 (- 3 i) - i \cdot 2 - i (- 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}

$\frac{3 \cdot 2 + 3 (- 3 i) - i \cdot 2 - i (- 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Этап 2.2.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Умножим

3

$3$ на

2

$2$ .

\frac{6 + 3 (- 3 i) - i \cdot 2 - i (- 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}

$\frac{6 + 3 (- 3 i) - i \cdot 2 - i (- 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Этап 2.2.2.1.2

Умножим

- 3

$- 3$ на

3

$3$ .

\frac{6 - 9 i - i \cdot 2 - i (- 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}

$\frac{6 - 9 i - i \cdot 2 - i (- 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Этап 2.2.2.1.3

Умножим

2

$2$ на

- 1

$- 1$ .

\frac{6 - 9 i - 2 i - i (- 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}

$\frac{6 - 9 i - 2 i - i (- 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Этап 2.2.2.1.4

Умножим

- i (- 3 i)

$- i (- 3 i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.4.1

Умножим

- 3

$- 3$ на

- 1

$- 1$ .

\frac{6 - 9 i - 2 i + 3 i i}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}

$\frac{6 - 9 i - 2 i + 3 i i}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Этап 2.2.2.1.4.2

Возведем

i

$i$ в степень

1

$1$ .

\frac{6 - 9 i - 2 i + 3 (i^{1} i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}

$\frac{6 - 9 i - 2 i + 3 (i^{1} i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Этап 2.2.2.1.4.3

Возведем

i

$i$ в степень

1

$1$ .

\frac{6 - 9 i - 2 i + 3 (i^{1} i^{1})}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}

$\frac{6 - 9 i - 2 i + 3 (i^{1} i^{1})}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Этап 2.2.2.1.4.4

Применим правило степени

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

\frac{6 - 9 i - 2 i + 3 i^{1 + 1}}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}

$\frac{6 - 9 i - 2 i + 3 i^{1 + 1}}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Этап 2.2.2.1.4.5

Добавим

1

$1$ и

1

$1$ .

\frac{6 - 9 i - 2 i + 3 i^{2}}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}

$\frac{6 - 9 i - 2 i + 3 i^{2}}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

\frac{6 - 9 i - 2 i + 3 i^{2}}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}

$\frac{6 - 9 i - 2 i + 3 i^{2}}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Этап 2.2.2.1.5

Перепишем

i^{2}

$i^{2}$ в виде

- 1

$- 1$ .

\frac{6 - 9 i - 2 i + 3 \cdot - 1}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}

$\frac{6 - 9 i - 2 i + 3 \cdot - 1}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Этап 2.2.2.1.6

Умножим

3

$3$ на

- 1

$- 1$ .

\frac{6 - 9 i - 2 i - 3}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}

$\frac{6 - 9 i - 2 i - 3}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

\frac{6 - 9 i - 2 i - 3}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}

$\frac{6 - 9 i - 2 i - 3}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Этап 2.2.2.2

Вычтем

3

$3$ из

6

$6$ .

\frac{3 - 9 i - 2 i}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}

$\frac{3 - 9 i - 2 i}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Этап 2.2.2.3

Вычтем

2 i

$2 i$ из

- 9 i

$- 9 i$ .

\frac{3 - 11 i}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}

$\frac{3 - 11 i}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

\frac{3 - 11 i}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}

$\frac{3 - 11 i}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

\frac{3 - 11 i}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}

$\frac{3 - 11 i}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Этап 2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Развернем

(2 + 3 i) (2 - 3 i)

$(2 + 3 i) (2 - 3 i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

\frac{3 - 11 i}{2 (2 - 3 i) + 3 i (2 - 3 i)}

$\frac{3 - 11 i}{2 (2 - 3 i) + 3 i (2 - 3 i)}$

Этап 2.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

\frac{3 - 11 i}{2 \cdot 2 + 2 (- 3 i) + 3 i (2 - 3 i)}

$\frac{3 - 11 i}{2 \cdot 2 + 2 (- 3 i) + 3 i (2 - 3 i)}$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

\frac{3 - 11 i}{2 \cdot 2 + 2 (- 3 i) + 3 i \cdot 2 + 3 i (- 3 i)}

$\frac{3 - 11 i}{2 \cdot 2 + 2 (- 3 i) + 3 i \cdot 2 + 3 i (- 3 i)}$

\frac{3 - 11 i}{2 \cdot 2 + 2 (- 3 i) + 3 i \cdot 2 + 3 i (- 3 i)}

$\frac{3 - 11 i}{2 \cdot 2 + 2 (- 3 i) + 3 i \cdot 2 + 3 i (- 3 i)}$

Этап 2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим

2

$2$ на

2

$2$ .

\frac{3 - 11 i}{4 + 2 (- 3 i) + 3 i \cdot 2 + 3 i (- 3 i)}

$\frac{3 - 11 i}{4 + 2 (- 3 i) + 3 i \cdot 2 + 3 i (- 3 i)}$

Этап 2.3.2.2

Умножим

- 3

$- 3$ на

2

$2$ .

\frac{3 - 11 i}{4 - 6 i + 3 i \cdot 2 + 3 i (- 3 i)}

$\frac{3 - 11 i}{4 - 6 i + 3 i \cdot 2 + 3 i (- 3 i)}$

Этап 2.3.2.3

Умножим

2

$2$ на

3

$3$ .

\frac{3 - 11 i}{4 - 6 i + 6 i + 3 i (- 3 i)}

$\frac{3 - 11 i}{4 - 6 i + 6 i + 3 i (- 3 i)}$

Этап 2.3.2.4

Умножим

- 3

$- 3$ на

3

$3$ .

\frac{3 - 11 i}{4 - 6 i + 6 i - 9 i i}

$\frac{3 - 11 i}{4 - 6 i + 6 i - 9 i i}$

Этап 2.3.2.5

Возведем

i

$i$ в степень

1

$1$ .

\frac{3 - 11 i}{4 - 6 i + 6 i - 9 (i^{1} i)}

$\frac{3 - 11 i}{4 - 6 i + 6 i - 9 (i^{1} i)}$

Этап 2.3.2.6

Возведем

i

$i$ в степень

1

$1$ .

\frac{3 - 11 i}{4 - 6 i + 6 i - 9 (i^{1} i^{1})}

$\frac{3 - 11 i}{4 - 6 i + 6 i - 9 (i^{1} i^{1})}$

Этап 2.3.2.7

Применим правило степени

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

\frac{3 - 11 i}{4 - 6 i + 6 i - 9 i^{1 + 1}}

$\frac{3 - 11 i}{4 - 6 i + 6 i - 9 i^{1 + 1}}$

Этап 2.3.2.8

Добавим

1

$1$ и

1

$1$ .

\frac{3 - 11 i}{4 - 6 i + 6 i - 9 i^{2}}

$\frac{3 - 11 i}{4 - 6 i + 6 i - 9 i^{2}}$

Этап 2.3.2.9

Добавим

- 6 i

$- 6 i$ и

6 i

$6 i$ .

\frac{3 - 11 i}{4 + 0 - 9 i^{2}}

$\frac{3 - 11 i}{4 + 0 - 9 i^{2}}$

Этап 2.3.2.10

Добавим

4

$4$ и

0

$0$ .

\frac{3 - 11 i}{4 - 9 i^{2}}

$\frac{3 - 11 i}{4 - 9 i^{2}}$

\frac{3 - 11 i}{4 - 9 i^{2}}

$\frac{3 - 11 i}{4 - 9 i^{2}}$

Этап 2.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем

i^{2}

$i^{2}$ в виде

- 1

$- 1$ .

\frac{3 - 11 i}{4 - 9 \cdot - 1}

$\frac{3 - 11 i}{4 - 9 \cdot - 1}$

Этап 2.3.3.2

Умножим

- 9

$- 9$ на

- 1

$- 1$ .

\frac{3 - 11 i}{4 + 9}

$\frac{3 - 11 i}{4 + 9}$

\frac{3 - 11 i}{4 + 9}

$\frac{3 - 11 i}{4 + 9}$

Этап 2.3.4

Добавим

4

$4$ и

9

$9$ .

\frac{3 - 11 i}{13}

$\frac{3 - 11 i}{13}$

\frac{3 - 11 i}{13}

$\frac{3 - 11 i}{13}$

\frac{3 - 11 i}{13}

$\frac{3 - 11 i}{13}$

Этап 3

Разобьем дробь

\frac{3 - 11 i}{13}

$\frac{3 - 11 i}{13}$ на две дроби.

\frac{3}{13} + \frac{- 11 i}{13}

$\frac{3}{13} + \frac{- 11 i}{13}$

Этап 4

Вынесем знак минуса перед дробью.

\frac{3}{13} - \frac{11 i}{13}

$\frac{3}{13} - \frac{11 i}{13}$