Элемент. математика Примеры

$5 x^{2} (4 + x)$

Этап 1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2} (4 + x)$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2} (4 + x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} (4 + x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = 4 + x$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [4 + x] + (4 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $4 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x^{2} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x]) + (4 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 (x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + (4 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [x] + (4 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 (x^{2} \cdot 1 + (4 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.5

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$5 (x^{2} + (4 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$5 (x^{2} + (4 + x) (2 x))$

Этап 3.7

Перенесем $2$ влево от $4 + x$ .

$5 (x^{2} + 2 \cdot (4 + x) x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (x^{2} + (2 \cdot 4 + 2 x) x)$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (x^{2} + 2 \cdot 4 x + 2 x \cdot x)$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} + 5 (2 \cdot 4 x) + 5 (2 x \cdot x)$

Этап 4.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $2$ на $4$ .

$5 x^{2} + 5 (8 x) + 5 (2 x \cdot x)$

Этап 4.4.2

Умножим $8$ на $5$ .

$5 x^{2} + 40 x + 5 (2 x \cdot x)$

Этап 4.4.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$5 x^{2} + 40 x + 5 (2 (x^{1} x))$

Этап 4.4.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$5 x^{2} + 40 x + 5 (2 (x^{1} x^{1}))$

Этап 4.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 x^{2} + 40 x + 5 (2 x^{1 + 1})$

Этап 4.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$5 x^{2} + 40 x + 5 (2 x^{2})$

Этап 4.4.7

Умножим $2$ на $5$ .

$5 x^{2} + 40 x + 10 x^{2}$

Этап 4.4.8

Добавим $5 x^{2}$ и $10 x^{2}$ .

$15 x^{2} + 40 x$