Элемент. математика Примеры

\frac{4 - 7 i}{3 + 4 i}

$\frac{4 - 7 i}{3 + 4 i}$

Этап 1

Умножим числитель и знаменатель

\frac{4 - 7 i}{3 + 4 i}

$\frac{4 - 7 i}{3 + 4 i}$ на комплексно сопряженное

3 + 4 i

$3 + 4 i$ , чтобы сделать знаменатель вещественным.

\frac{4 - 7 i}{3 + 4 i} \cdot \frac{3 - 4 i}{3 - 4 i}

$\frac{4 - 7 i}{3 + 4 i} \cdot \frac{3 - 4 i}{3 - 4 i}$

Этап 2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим.

\frac{(4 - 7 i) (3 - 4 i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}

$\frac{(4 - 7 i) (3 - 4 i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Этап 2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Развернем

(4 - 7 i) (3 - 4 i)

$(4 - 7 i) (3 - 4 i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

\frac{4 (3 - 4 i) - 7 i (3 - 4 i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}

$\frac{4 (3 - 4 i) - 7 i (3 - 4 i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Этап 2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

\frac{4 \cdot 3 + 4 (- 4 i) - 7 i (3 - 4 i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}

$\frac{4 \cdot 3 + 4 (- 4 i) - 7 i (3 - 4 i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Этап 2.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

\frac{4 \cdot 3 + 4 (- 4 i) - 7 i \cdot 3 - 7 i (- 4 i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}

$\frac{4 \cdot 3 + 4 (- 4 i) - 7 i \cdot 3 - 7 i (- 4 i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

\frac{4 \cdot 3 + 4 (- 4 i) - 7 i \cdot 3 - 7 i (- 4 i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}

$\frac{4 \cdot 3 + 4 (- 4 i) - 7 i \cdot 3 - 7 i (- 4 i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Этап 2.2.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Умножим

4

$4$ на

3

$3$ .

\frac{12 + 4 (- 4 i) - 7 i \cdot 3 - 7 i (- 4 i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}

$\frac{12 + 4 (- 4 i) - 7 i \cdot 3 - 7 i (- 4 i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Этап 2.2.2.1.2

Умножим

- 4

$- 4$ на

4

$4$ .

\frac{12 - 16 i - 7 i \cdot 3 - 7 i (- 4 i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}

$\frac{12 - 16 i - 7 i \cdot 3 - 7 i (- 4 i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Этап 2.2.2.1.3

Умножим

3

$3$ на

- 7

$- 7$ .

\frac{12 - 16 i - 21 i - 7 i (- 4 i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}

$\frac{12 - 16 i - 21 i - 7 i (- 4 i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Этап 2.2.2.1.4

Умножим

- 7 i (- 4 i)

$- 7 i (- 4 i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.4.1

Умножим

- 4

$- 4$ на

- 7

$- 7$ .

\frac{12 - 16 i - 21 i + 28 i i}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}

$\frac{12 - 16 i - 21 i + 28 i i}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Этап 2.2.2.1.4.2

Возведем

i

$i$ в степень

1

$1$ .

\frac{12 - 16 i - 21 i + 28 (i^{1} i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}

$\frac{12 - 16 i - 21 i + 28 (i^{1} i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Этап 2.2.2.1.4.3

Возведем

i

$i$ в степень

1

$1$ .

\frac{12 - 16 i - 21 i + 28 (i^{1} i^{1})}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}

$\frac{12 - 16 i - 21 i + 28 (i^{1} i^{1})}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Этап 2.2.2.1.4.4

Применим правило степени

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

\frac{12 - 16 i - 21 i + 28 i^{1 + 1}}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}

$\frac{12 - 16 i - 21 i + 28 i^{1 + 1}}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Этап 2.2.2.1.4.5

Добавим

1

$1$ и

1

$1$ .

\frac{12 - 16 i - 21 i + 28 i^{2}}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}

$\frac{12 - 16 i - 21 i + 28 i^{2}}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

\frac{12 - 16 i - 21 i + 28 i^{2}}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}

$\frac{12 - 16 i - 21 i + 28 i^{2}}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Этап 2.2.2.1.5

Перепишем

i^{2}

$i^{2}$ в виде

- 1

$- 1$ .

\frac{12 - 16 i - 21 i + 28 \cdot - 1}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}

$\frac{12 - 16 i - 21 i + 28 \cdot - 1}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Этап 2.2.2.1.6

Умножим

28

$28$ на

- 1

$- 1$ .

\frac{12 - 16 i - 21 i - 28}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}

$\frac{12 - 16 i - 21 i - 28}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

\frac{12 - 16 i - 21 i - 28}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}

$\frac{12 - 16 i - 21 i - 28}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Этап 2.2.2.2

Вычтем

28

$28$ из

12

$12$ .

\frac{- 16 - 16 i - 21 i}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}

$\frac{- 16 - 16 i - 21 i}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Этап 2.2.2.3

Вычтем

21 i

$21 i$ из

- 16 i

$- 16 i$ .

\frac{- 16 - 37 i}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}

$\frac{- 16 - 37 i}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

\frac{- 16 - 37 i}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}

$\frac{- 16 - 37 i}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

\frac{- 16 - 37 i}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}

$\frac{- 16 - 37 i}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Этап 2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Развернем

(3 + 4 i) (3 - 4 i)

$(3 + 4 i) (3 - 4 i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

\frac{- 16 - 37 i}{3 (3 - 4 i) + 4 i (3 - 4 i)}

$\frac{- 16 - 37 i}{3 (3 - 4 i) + 4 i (3 - 4 i)}$

Этап 2.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

\frac{- 16 - 37 i}{3 \cdot 3 + 3 (- 4 i) + 4 i (3 - 4 i)}

$\frac{- 16 - 37 i}{3 \cdot 3 + 3 (- 4 i) + 4 i (3 - 4 i)}$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

\frac{- 16 - 37 i}{3 \cdot 3 + 3 (- 4 i) + 4 i \cdot 3 + 4 i (- 4 i)}

$\frac{- 16 - 37 i}{3 \cdot 3 + 3 (- 4 i) + 4 i \cdot 3 + 4 i (- 4 i)}$

\frac{- 16 - 37 i}{3 \cdot 3 + 3 (- 4 i) + 4 i \cdot 3 + 4 i (- 4 i)}

$\frac{- 16 - 37 i}{3 \cdot 3 + 3 (- 4 i) + 4 i \cdot 3 + 4 i (- 4 i)}$

Этап 2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим

3

$3$ на

3

$3$ .

\frac{- 16 - 37 i}{9 + 3 (- 4 i) + 4 i \cdot 3 + 4 i (- 4 i)}

$\frac{- 16 - 37 i}{9 + 3 (- 4 i) + 4 i \cdot 3 + 4 i (- 4 i)}$

Этап 2.3.2.2

Умножим

- 4

$- 4$ на

3

$3$ .

\frac{- 16 - 37 i}{9 - 12 i + 4 i \cdot 3 + 4 i (- 4 i)}

$\frac{- 16 - 37 i}{9 - 12 i + 4 i \cdot 3 + 4 i (- 4 i)}$

Этап 2.3.2.3

Умножим

3

$3$ на

4

$4$ .

\frac{- 16 - 37 i}{9 - 12 i + 12 i + 4 i (- 4 i)}

$\frac{- 16 - 37 i}{9 - 12 i + 12 i + 4 i (- 4 i)}$

Этап 2.3.2.4

Умножим

- 4

$- 4$ на

4

$4$ .

\frac{- 16 - 37 i}{9 - 12 i + 12 i - 16 i i}

$\frac{- 16 - 37 i}{9 - 12 i + 12 i - 16 i i}$

Этап 2.3.2.5

Возведем

i

$i$ в степень

1

$1$ .

\frac{- 16 - 37 i}{9 - 12 i + 12 i - 16 (i^{1} i)}

$\frac{- 16 - 37 i}{9 - 12 i + 12 i - 16 (i^{1} i)}$

Этап 2.3.2.6

Возведем

i

$i$ в степень

1

$1$ .

\frac{- 16 - 37 i}{9 - 12 i + 12 i - 16 (i^{1} i^{1})}

$\frac{- 16 - 37 i}{9 - 12 i + 12 i - 16 (i^{1} i^{1})}$

Этап 2.3.2.7

Применим правило степени

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

\frac{- 16 - 37 i}{9 - 12 i + 12 i - 16 i^{1 + 1}}

$\frac{- 16 - 37 i}{9 - 12 i + 12 i - 16 i^{1 + 1}}$

Этап 2.3.2.8

Добавим

1

$1$ и

1

$1$ .

\frac{- 16 - 37 i}{9 - 12 i + 12 i - 16 i^{2}}

$\frac{- 16 - 37 i}{9 - 12 i + 12 i - 16 i^{2}}$

Этап 2.3.2.9

Добавим

- 12 i

$- 12 i$ и

12 i

$12 i$ .

\frac{- 16 - 37 i}{9 + 0 - 16 i^{2}}

$\frac{- 16 - 37 i}{9 + 0 - 16 i^{2}}$

Этап 2.3.2.10

Добавим

9

$9$ и

0

$0$ .

\frac{- 16 - 37 i}{9 - 16 i^{2}}

$\frac{- 16 - 37 i}{9 - 16 i^{2}}$

\frac{- 16 - 37 i}{9 - 16 i^{2}}

$\frac{- 16 - 37 i}{9 - 16 i^{2}}$

Этап 2.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем

i^{2}

$i^{2}$ в виде

- 1

$- 1$ .

\frac{- 16 - 37 i}{9 - 16 \cdot - 1}

$\frac{- 16 - 37 i}{9 - 16 \cdot - 1}$

Этап 2.3.3.2

Умножим

- 16

$- 16$ на

- 1

$- 1$ .

\frac{- 16 - 37 i}{9 + 16}

$\frac{- 16 - 37 i}{9 + 16}$

\frac{- 16 - 37 i}{9 + 16}

$\frac{- 16 - 37 i}{9 + 16}$

Этап 2.3.4

Добавим

9

$9$ и

16

$16$ .

\frac{- 16 - 37 i}{25}

$\frac{- 16 - 37 i}{25}$

\frac{- 16 - 37 i}{25}

$\frac{- 16 - 37 i}{25}$

\frac{- 16 - 37 i}{25}

$\frac{- 16 - 37 i}{25}$

Этап 3

Разобьем дробь

\frac{- 16 - 37 i}{25}

$\frac{- 16 - 37 i}{25}$ на две дроби.

\frac{- 16}{25} + \frac{- 37 i}{25}

$\frac{- 16}{25} + \frac{- 37 i}{25}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

- \frac{16}{25} + \frac{- 37 i}{25}

$- \frac{16}{25} + \frac{- 37 i}{25}$

Этап 4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

- \frac{16}{25} - \frac{37 i}{25}

$- \frac{16}{25} - \frac{37 i}{25}$

- \frac{16}{25} - \frac{37 i}{25}

$- \frac{16}{25} - \frac{37 i}{25}$