Элемент. математика Примеры

$\frac{{(5 + i)}^{2}}{3 - i}$

Этап 1

Умножим числитель и знаменатель $\frac{{(5 + i)}^{2}}{3 - i}$ на комплексно сопряженное $3 - i$ , чтобы сделать знаменатель вещественным.

$\frac{{(5 + i)}^{2}}{3 - i} \cdot \frac{3 + i}{3 + i}$

Этап 2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим.

$\frac{{(5 + i)}^{2} (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Этап 2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем ${(5 + i)}^{2}$ в виде $(5 + i) (5 + i)$ .

$\frac{(5 + i) (5 + i) (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Этап 2.2.2

Развернем $(5 + i) (5 + i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(5 (5 + i) + i (5 + i)) (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Этап 2.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(5 \cdot 5 + 5 i + i (5 + i)) (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Этап 2.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(5 \cdot 5 + 5 i + i \cdot 5 + i i) (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Этап 2.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{(25 + 5 i + i \cdot 5 + i i) (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Этап 2.2.3.1.2

Перенесем $5$ влево от $i$ .

$\frac{(25 + 5 i + 5 \cdot i + i i) (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Этап 2.2.3.1.3

Умножим $i i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.3.1

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{(25 + 5 i + 5 i + i^{1} i) (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Этап 2.2.3.1.3.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{(25 + 5 i + 5 i + i^{1} i^{1}) (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Этап 2.2.3.1.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(25 + 5 i + 5 i + i^{1 + 1}) (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Этап 2.2.3.1.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{(25 + 5 i + 5 i + i^{2}) (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Этап 2.2.3.1.4

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{(25 + 5 i + 5 i - 1) (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Этап 2.2.3.2

Вычтем $1$ из $25$ .

$\frac{(24 + 5 i + 5 i) (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Этап 2.2.3.3

Добавим $5 i$ и $5 i$ .

$\frac{(24 + 10 i) (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Этап 2.2.4

Развернем $(24 + 10 i) (3 + i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{24 (3 + i) + 10 i (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Этап 2.2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{24 \cdot 3 + 24 i + 10 i (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Этап 2.2.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{24 \cdot 3 + 24 i + 10 i \cdot 3 + 10 i i}{(3 - i) (3 + i)}$

Этап 2.2.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.1

Умножим $24$ на $3$ .

$\frac{72 + 24 i + 10 i \cdot 3 + 10 i i}{(3 - i) (3 + i)}$

Этап 2.2.5.1.2

Умножим $3$ на $10$ .

$\frac{72 + 24 i + 30 i + 10 i i}{(3 - i) (3 + i)}$

Этап 2.2.5.1.3

Умножим $10 i i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.3.1

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{72 + 24 i + 30 i + 10 (i^{1} i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Этап 2.2.5.1.3.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{72 + 24 i + 30 i + 10 (i^{1} i^{1})}{(3 - i) (3 + i)}$

Этап 2.2.5.1.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{72 + 24 i + 30 i + 10 i^{1 + 1}}{(3 - i) (3 + i)}$

Этап 2.2.5.1.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{72 + 24 i + 30 i + 10 i^{2}}{(3 - i) (3 + i)}$

Этап 2.2.5.1.4

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{72 + 24 i + 30 i + 10 \cdot - 1}{(3 - i) (3 + i)}$

Этап 2.2.5.1.5

Умножим $10$ на $- 1$ .

$\frac{72 + 24 i + 30 i - 10}{(3 - i) (3 + i)}$

Этап 2.2.5.2

Вычтем $10$ из $72$ .

$\frac{62 + 24 i + 30 i}{(3 - i) (3 + i)}$

Этап 2.2.5.3

Добавим $24 i$ и $30 i$ .

$\frac{62 + 54 i}{(3 - i) (3 + i)}$

Этап 2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Развернем $(3 - i) (3 + i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{62 + 54 i}{3 (3 + i) - i (3 + i)}$

Этап 2.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{62 + 54 i}{3 \cdot 3 + 3 i - i (3 + i)}$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{62 + 54 i}{3 \cdot 3 + 3 i - i \cdot 3 - i i}$

Этап 2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{62 + 54 i}{9 + 3 i - i \cdot 3 - i i}$

Этап 2.3.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{62 + 54 i}{9 + 3 i - 3 i - i i}$

Этап 2.3.2.3

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{62 + 54 i}{9 + 3 i - 3 i - (i^{1} i)}$

Этап 2.3.2.4

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{62 + 54 i}{9 + 3 i - 3 i - (i^{1} i^{1})}$

Этап 2.3.2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{62 + 54 i}{9 + 3 i - 3 i - i^{1 + 1}}$

Этап 2.3.2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{62 + 54 i}{9 + 3 i - 3 i - i^{2}}$

Этап 2.3.2.7

Вычтем $3 i$ из $3 i$ .

$\frac{62 + 54 i}{9 + 0 - i^{2}}$

Этап 2.3.2.8

Добавим $9$ и $0$ .

$\frac{62 + 54 i}{9 - i^{2}}$

Этап 2.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{62 + 54 i}{9 - - 1}$

Этап 2.3.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{62 + 54 i}{9 + 1}$

Этап 2.3.4

Добавим $9$ и $1$ .

$\frac{62 + 54 i}{10}$

Этап 3

Сократим общий множитель $62 + 54 i$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $2$ из $62$ .

$\frac{2 (31) + 54 i}{10}$

Этап 3.2

Вынесем множитель $2$ из $54 i$ .

$\frac{2 (31) + 2 (27 i)}{10}$

Этап 3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (31) + 2 (27 i)$ .

$\frac{2 (31 + 27 i)}{10}$

Этап 3.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$\frac{2 (31 + 27 i)}{2 \cdot 5}$

Этап 3.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (31 + 27 i)}{2 \cdot 5}$

Этап 3.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{31 + 27 i}{5}$

Этап 4

Разобьем дробь $\frac{31 + 27 i}{5}$ на две дроби.

$\frac{31}{5} + \frac{27 i}{5}$