Элемент. математика Примеры

$\frac{t - 10}{t^{2} - t - 6} - \frac{t + 5}{t^{2} + 3 t + 2}$

Этап 1

Разложим $t^{2} + 3 t + 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $2$ , а сумма — $3$ .

$1, 2$

Этап 1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{t - 10}{t^{2} - t - 6} - \frac{t + 5}{(t + 1) (t + 2)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{t - 10}{t^{2} - t - 6}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{(t + 1) (t + 2)}{(t + 1) (t + 2)}$ .

$\frac{t - 10}{t^{2} - t - 6} \cdot \frac{(t + 1) (t + 2)}{(t + 1) (t + 2)} - \frac{t + 5}{(t + 1) (t + 2)}$

Этап 3

Чтобы записать $- \frac{t + 5}{(t + 1) (t + 2)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{t^{2} - t - 6}{t^{2} - t - 6}$ .

$\frac{t - 10}{t^{2} - t - 6} \cdot \frac{(t + 1) (t + 2)}{(t + 1) (t + 2)} - \frac{t + 5}{(t + 1) (t + 2)} \cdot \frac{t^{2} - t - 6}{t^{2} - t - 6}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(t^{2} - t - 6) (t + 1) (t + 2)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{t - 10}{t^{2} - t - 6}$ на $\frac{(t + 1) (t + 2)}{(t + 1) (t + 2)}$ .

$\frac{(t - 10) ((t + 1) (t + 2))}{(t^{2} - t - 6) ((t + 1) (t + 2))} - \frac{t + 5}{(t + 1) (t + 2)} \cdot \frac{t^{2} - t - 6}{t^{2} - t - 6}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{t + 5}{(t + 1) (t + 2)}$ на $\frac{t^{2} - t - 6}{t^{2} - t - 6}$ .

$\frac{(t - 10) ((t + 1) (t + 2))}{(t^{2} - t - 6) ((t + 1) (t + 2))} - \frac{(t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(t^{2} - t - 6) ((t + 1) (t + 2))$ .

$\frac{(t - 10) ((t + 1) (t + 2))}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)} - \frac{(t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(t - 10) ((t + 1) (t + 2)) - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6

Перепишем $\frac{(t - 10) ((t + 1) (t + 2)) - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Развернем $(t + 1) (t + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(t - 10) (t (t + 2) + 1 (t + 2)) - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(t - 10) (t \cdot t + t \cdot 2 + 1 (t + 2)) - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(t - 10) (t \cdot t + t \cdot 2 + 1 t + 1 \cdot 2) - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $t$ на $t$ .

$\frac{(t - 10) (t^{2} + t \cdot 2 + 1 t + 1 \cdot 2) - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.2.1.2

Перенесем $2$ влево от $t$ .

$\frac{(t - 10) (t^{2} + 2 t + 1 t + 1 \cdot 2) - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.2.1.3

Умножим $t$ на $1$ .

$\frac{(t - 10) (t^{2} + 2 t + t + 1 \cdot 2) - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.2.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{(t - 10) (t^{2} + 2 t + t + 2) - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.2.2

Добавим $2 t$ и $t$ .

$\frac{(t - 10) (t^{2} + 3 t + 2) - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.3

Развернем $(t - 10) (t^{2} + 3 t + 2)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{t \cdot t^{2} + t (3 t) + t \cdot 2 - 10 t^{2} - 10 (3 t) - 10 \cdot 2 - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Умножим $t$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Умножим $t$ на $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{t^{1} t^{2} + t (3 t) + t \cdot 2 - 10 t^{2} - 10 (3 t) - 10 \cdot 2 - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.4.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{t^{1 + 2} + t (3 t) + t \cdot 2 - 10 t^{2} - 10 (3 t) - 10 \cdot 2 - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.4.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{t^{3} + t (3 t) + t \cdot 2 - 10 t^{2} - 10 (3 t) - 10 \cdot 2 - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.4.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{t^{3} + 3 t \cdot t + t \cdot 2 - 10 t^{2} - 10 (3 t) - 10 \cdot 2 - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.4.3

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1

Перенесем $t$ .

$\frac{t^{3} + 3 (t \cdot t) + t \cdot 2 - 10 t^{2} - 10 (3 t) - 10 \cdot 2 - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.4.3.2

Умножим $t$ на $t$ .

$\frac{t^{3} + 3 t^{2} + t \cdot 2 - 10 t^{2} - 10 (3 t) - 10 \cdot 2 - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.4.4

Перенесем $2$ влево от $t$ .

$\frac{t^{3} + 3 t^{2} + 2 t - 10 t^{2} - 10 (3 t) - 10 \cdot 2 - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.4.5

Умножим $3$ на $- 10$ .

$\frac{t^{3} + 3 t^{2} + 2 t - 10 t^{2} - 30 t - 10 \cdot 2 - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.4.6

Умножим $- 10$ на $2$ .

$\frac{t^{3} + 3 t^{2} + 2 t - 10 t^{2} - 30 t - 20 - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.5

Вычтем $10 t^{2}$ из $3 t^{2}$ .

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} + 2 t - 30 t - 20 - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.6

Вычтем $30 t$ из $2 t$ .

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - (t + 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 + (- t - 1 \cdot 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.8

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 + (- t - 5) (t^{2} - t - 6)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.9

Развернем $(- t - 5) (t^{2} - t - 6)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t \cdot t^{2} - t (- t) - t \cdot - 6 - 5 t^{2} - 5 (- t) - 5 \cdot - 6}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.1

Умножим $t$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.1.1

Перенесем $t^{2}$ .

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - (t^{2} t) - t (- t) - t \cdot - 6 - 5 t^{2} - 5 (- t) - 5 \cdot - 6}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.10.1.2

Умножим $t^{2}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.1.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - (t^{2} t^{1}) - t (- t) - t \cdot - 6 - 5 t^{2} - 5 (- t) - 5 \cdot - 6}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.10.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t^{2 + 1} - t (- t) - t \cdot - 6 - 5 t^{2} - 5 (- t) - 5 \cdot - 6}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.10.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t^{3} - t (- t) - t \cdot - 6 - 5 t^{2} - 5 (- t) - 5 \cdot - 6}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.10.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t^{3} - 1 \cdot - 1 t \cdot t - t \cdot - 6 - 5 t^{2} - 5 (- t) - 5 \cdot - 6}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.10.3

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.3.1

Перенесем $t$ .

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t^{3} - 1 \cdot - 1 (t \cdot t) - t \cdot - 6 - 5 t^{2} - 5 (- t) - 5 \cdot - 6}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.10.3.2

Умножим $t$ на $t$ .

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t^{3} - 1 \cdot - 1 t^{2} - t \cdot - 6 - 5 t^{2} - 5 (- t) - 5 \cdot - 6}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.10.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t^{3} + 1 t^{2} - t \cdot - 6 - 5 t^{2} - 5 (- t) - 5 \cdot - 6}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.10.5

Умножим $t^{2}$ на $1$ .

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t^{3} + t^{2} - t \cdot - 6 - 5 t^{2} - 5 (- t) - 5 \cdot - 6}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.10.6

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t^{3} + t^{2} + 6 t - 5 t^{2} - 5 (- t) - 5 \cdot - 6}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.10.7

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t^{3} + t^{2} + 6 t - 5 t^{2} + 5 t - 5 \cdot - 6}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.10.8

Умножим $- 5$ на $- 6$ .

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t^{3} + t^{2} + 6 t - 5 t^{2} + 5 t + 30}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.11

Вычтем $5 t^{2}$ из $t^{2}$ .

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t^{3} - 4 t^{2} + 6 t + 5 t + 30}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.12

Добавим $6 t$ и $5 t$ .

$\frac{t^{3} - 7 t^{2} - 28 t - 20 - t^{3} - 4 t^{2} + 11 t + 30}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.13

Вычтем $t^{3}$ из $t^{3}$ .

$\frac{- 7 t^{2} - 28 t - 20 + 0 - 4 t^{2} + 11 t + 30}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.14

Добавим $- 7 t^{2}$ и $0$ .

$\frac{- 7 t^{2} - 28 t - 20 - 4 t^{2} + 11 t + 30}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.15

Вычтем $4 t^{2}$ из $- 7 t^{2}$ .

$\frac{- 11 t^{2} - 28 t - 20 + 11 t + 30}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.16

Добавим $- 28 t$ и $11 t$ .

$\frac{- 11 t^{2} - 17 t - 20 + 30}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.17

Добавим $- 20$ и $30$ .

$\frac{- 11 t^{2} - 17 t + 10}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.18

Перепишем $- 11 t^{2} - 17 t + 10$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.18.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 11 t^{2} - 17 t + 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.18.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 11 t^{2}$ .

$\frac{- (11 t^{2}) - 17 t + 10}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.18.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 17 t$ .

$\frac{- (11 t^{2}) - (17 t) + 10}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.18.1.3

Перепишем $10$ в виде $- 1 (- 10)$ .

$\frac{- (11 t^{2}) - (17 t) - 1 (- 10)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.18.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (11 t^{2}) - (17 t)$ .

$\frac{- (11 t^{2} + 17 t) - 1 (- 10)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.18.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (11 t^{2} + 17 t) - 1 (- 10)$ .

$\frac{- (11 t^{2} + 17 t - 10)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.18.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.18.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.18.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 11 \cdot - 10 = - 110$ , а сумма — $b = 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.18.2.1.1.1

Вынесем множитель $17$ из $17 t$ .

$\frac{- (11 t^{2} + 17 (t) - 10)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.18.2.1.1.2

Запишем $17$ как $- 5$ плюс $22$

$\frac{- (11 t^{2} + (- 5 + 22) t - 10)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.18.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- (11 t^{2} - 5 t + 22 t - 10)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.18.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.18.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{- ((11 t^{2} - 5 t) + 22 t - 10)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.18.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{- (t (11 t - 5) + 2 (11 t - 5))}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.18.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $11 t - 5$ .

$\frac{- ((11 t - 5) (t + 2))}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.18.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{- (11 t - 5) (t + 2)}{(t + 1) (t + 2) (t^{2} - t - 6)}$

Этап 6.19

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.19.1

Разложим $t^{2} - t - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.19.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $- 1$ .

$- 3, 2$

Этап 6.19.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{- (11 t - 5) (t + 2)}{(t + 1) (t + 2) ((t - 3) (t + 2))}$

Этап 6.19.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{- (11 t - 5) (t + 2)}{(t + 1) (t + 2) (t - 3) (t + 2)}$

Этап 6.20

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.20.1

Возведем $t + 2$ в степень $1$ .

$\frac{- (11 t - 5) (t + 2)}{(t + 1) ({(t + 2)}^{1} (t + 2)) (t - 3)}$

Этап 6.20.2

Возведем $t + 2$ в степень $1$ .

$\frac{- (11 t - 5) (t + 2)}{(t + 1) ({(t + 2)}^{1} {(t + 2)}^{1}) (t - 3)}$

Этап 6.20.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- (11 t - 5) (t + 2)}{(t + 1) {(t + 2)}^{1 + 1} (t - 3)}$

Этап 6.20.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- (11 t - 5) (t + 2)}{(t + 1) {(t + 2)}^{2} (t - 3)}$

Этап 6.21

Сократим выражение $\frac{- (11 t - 5) (t + 2)}{(t + 1) {(t + 2)}^{2} (t - 3)}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.21.1

Вынесем множитель $t + 2$ из $- (11 t - 5) (t + 2)$ .

$\frac{(t + 2) (- (11 t - 5))}{(t + 1) {(t + 2)}^{2} (t - 3)}$

Этап 6.21.2

Вынесем множитель $t + 2$ из $(t + 1) {(t + 2)}^{2} (t - 3)$ .

$\frac{(t + 2) (- (11 t - 5))}{(t + 2) (((t + 1) (t + 2)) (t - 3))}$

Этап 6.21.3

Сократим общий множитель.

$\frac{(t + 2) (- (11 t - 5))}{(t + 2) (((t + 1) (t + 2)) (t - 3))}$

Этап 6.21.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- (11 t - 5)}{((t + 1) (t + 2)) (t - 3)}$