Элемент. математика Примеры

$t^{3} - 3 t^{2} - 15 t + 125$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 125, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 125, \pm 5, \pm 25$

Этап 3

Подставим $- 5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $- 5$ в многочлен.

${(- 5)}^{3} - 3 {(- 5)}^{2} - 15 \cdot - 5 + 125$

Этап 3.2

Возведем $- 5$ в степень $3$ .

$- 125 - 3 {(- 5)}^{2} - 15 \cdot - 5 + 125$

Этап 3.3

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$- 125 - 3 \cdot 25 - 15 \cdot - 5 + 125$

Этап 3.4

Умножим $- 3$ на $25$ .

$- 125 - 75 - 15 \cdot - 5 + 125$

Этап 3.5

Вычтем $75$ из $- 125$ .

$- 200 - 15 \cdot - 5 + 125$

Этап 3.6

Умножим $- 15$ на $- 5$ .

$- 200 + 75 + 125$

Этап 3.7

Добавим $- 200$ и $75$ .

$- 125 + 125$

Этап 3.8

Добавим $- 125$ и $125$ .

$0$

Этап 4

Поскольку $- 5$ — известный корень, разделим многочлен на $t + 5$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} - 15 t + 125}{t + 5}$

Этап 5

Разделим $t^{3} - 3 t^{2} - 15 t + 125$ на $t + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$t$

$5$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$15 t$

$125$

Этап 5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $t^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $t$ .

					$t^{2}$
	$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$

Этап 5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$t^{2}$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			+	$t^{3}$	+	$5 t^{2}$

Этап 5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $t^{3} + 5 t^{2}$ .

				$t^{2}$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			-	$t^{3}$	-	$5 t^{2}$

Этап 5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$t^{2}$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			-	$t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$8 t^{2}$

Этап 5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$t^{2}$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			-	$t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$8 t^{2}$	-	$15 t$

Этап 5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 8 t^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $t$ .

				$t^{2}$	-	$8 t$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			-	$t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$8 t^{2}$	-	$15 t$

Этап 5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$t^{2}$	-	$8 t$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			-	$t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$8 t^{2}$	-	$15 t$
					-	$8 t^{2}$	-	$40 t$

Этап 5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 8 t^{2} - 40 t$ .

				$t^{2}$	-	$8 t$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			-	$t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$8 t^{2}$	-	$15 t$
					+	$8 t^{2}$	+	$40 t$

Этап 5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$t^{2}$	-	$8 t$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			-	$t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$8 t^{2}$	-	$15 t$
					+	$8 t^{2}$	+	$40 t$
							+	$25 t$

Этап 5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$t^{2}$	-	$8 t$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			-	$t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$8 t^{2}$	-	$15 t$
					+	$8 t^{2}$	+	$40 t$
							+	$25 t$	+	$125$

Этап 5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $25 t$ на член с максимальной степенью в делителе $t$ .

				$t^{2}$	-	$8 t$	+	$25$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			-	$t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$8 t^{2}$	-	$15 t$
					+	$8 t^{2}$	+	$40 t$
							+	$25 t$	+	$125$

Этап 5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$t^{2}$	-	$8 t$	+	$25$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			-	$t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$8 t^{2}$	-	$15 t$
					+	$8 t^{2}$	+	$40 t$
							+	$25 t$	+	$125$
							+	$25 t$	+	$125$

Этап 5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $25 t + 125$ .

				$t^{2}$	-	$8 t$	+	$25$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			-	$t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$8 t^{2}$	-	$15 t$
					+	$8 t^{2}$	+	$40 t$
							+	$25 t$	+	$125$
							-	$25 t$	-	$125$

Этап 5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$t^{2}$	-	$8 t$	+	$25$
$t$	+	$5$		$t^{3}$	-	$3 t^{2}$	-	$15 t$	+	$125$
			-	$t^{3}$	-	$5 t^{2}$
					-	$8 t^{2}$	-	$15 t$
					+	$8 t^{2}$	+	$40 t$
							+	$25 t$	+	$125$
							-	$25 t$	-	$125$
										$0$

Этап 5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$t^{2} - 8 t + 25$

Этап 6

Запишем $t^{3} - 3 t^{2} - 15 t + 125$ в виде набора множителей.

$(t + 5) (t^{2} - 8 t + 25)$