Элемент. математика Примеры

$y^{3} - 14 y + 15$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

Этап 3

Подставим $3$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $3$ в многочлен.

$3^{3} - 14 \cdot 3 + 15$

Этап 3.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 - 14 \cdot 3 + 15$

Этап 3.3

Умножим $- 14$ на $3$ .

$27 - 42 + 15$

Этап 3.4

Вычтем $42$ из $27$ .

$- 15 + 15$

Этап 3.5

Добавим $- 15$ и $15$ .

$0$

Этап 4

Поскольку $3$ — известный корень, разделим многочлен на $y - 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{y^{3} - 14 y + 15}{y - 3}$

Этап 5

Разделим $y^{3} - 14 y + 15$ на $y - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$y$

$3$

$y^{3}$

$0 y^{2}$

$14 y$

$15$

Этап 5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $y^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $y$ .

					$y^{2}$
	$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$14 y$	+	$15$

Этап 5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$y^{2}$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$14 y$	+	$15$
			+	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$

Этап 5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $y^{3} - 3 y^{2}$ .

				$y^{2}$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$14 y$	+	$15$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$

Этап 5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$y^{2}$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$14 y$	+	$15$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					+	$3 y^{2}$

Этап 5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$y^{2}$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$14 y$	+	$15$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					+	$3 y^{2}$	-	$14 y$

Этап 5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 y^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $y$ .

				$y^{2}$	+	$3 y$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$14 y$	+	$15$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					+	$3 y^{2}$	-	$14 y$

Этап 5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$y^{2}$	+	$3 y$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$14 y$	+	$15$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					+	$3 y^{2}$	-	$14 y$
					+	$3 y^{2}$	-	$9 y$

Этап 5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 y^{2} - 9 y$ .

				$y^{2}$	+	$3 y$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$14 y$	+	$15$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					+	$3 y^{2}$	-	$14 y$
					-	$3 y^{2}$	+	$9 y$

Этап 5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$y^{2}$	+	$3 y$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$14 y$	+	$15$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					+	$3 y^{2}$	-	$14 y$
					-	$3 y^{2}$	+	$9 y$
							-	$5 y$

Этап 5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$y^{2}$	+	$3 y$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$14 y$	+	$15$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					+	$3 y^{2}$	-	$14 y$
					-	$3 y^{2}$	+	$9 y$
							-	$5 y$	+	$15$

Этап 5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 5 y$ на член с максимальной степенью в делителе $y$ .

				$y^{2}$	+	$3 y$	-	$5$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$14 y$	+	$15$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					+	$3 y^{2}$	-	$14 y$
					-	$3 y^{2}$	+	$9 y$
							-	$5 y$	+	$15$

Этап 5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$y^{2}$	+	$3 y$	-	$5$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$14 y$	+	$15$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					+	$3 y^{2}$	-	$14 y$
					-	$3 y^{2}$	+	$9 y$
							-	$5 y$	+	$15$
							-	$5 y$	+	$15$

Этап 5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 5 y + 15$ .

				$y^{2}$	+	$3 y$	-	$5$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$14 y$	+	$15$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					+	$3 y^{2}$	-	$14 y$
					-	$3 y^{2}$	+	$9 y$
							-	$5 y$	+	$15$
							+	$5 y$	-	$15$

Этап 5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$y^{2}$	+	$3 y$	-	$5$
$y$	-	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$14 y$	+	$15$
			-	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$
					+	$3 y^{2}$	-	$14 y$
					-	$3 y^{2}$	+	$9 y$
							-	$5 y$	+	$15$
							+	$5 y$	-	$15$
										$0$

Этап 5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$y^{2} + 3 y - 5$

Этап 6

Запишем $y^{3} - 14 y + 15$ в виде набора множителей.

$(y - 3) (y^{2} + 3 y - 5)$