Элемент. математика Примеры

$10 p^{3} - 25 p^{2} + 20$

Этап 1

Вынесем множитель $5$ из $10 p^{3} - 25 p^{2} + 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $5$ из $10 p^{3}$ .

$5 (2 p^{3}) - 25 p^{2} + 20$

Этап 1.2

Вынесем множитель $5$ из $- 25 p^{2}$ .

$5 (2 p^{3}) + 5 (- 5 p^{2}) + 20$

Этап 1.3

Вынесем множитель $5$ из $20$ .

$5 (2 p^{3}) + 5 (- 5 p^{2}) + 5 (4)$

Этап 1.4

Вынесем множитель $5$ из $5 (2 p^{3}) + 5 (- 5 p^{2})$ .

$5 (2 p^{3} - 5 p^{2}) + 5 (4)$

Этап 1.5

Вынесем множитель $5$ из $5 (2 p^{3} - 5 p^{2}) + 5 (4)$ .

$5 (2 p^{3} - 5 p^{2} + 4)$

Этап 2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим $2 p^{3} - 5 p^{2} + 4$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 4, \pm 2$

Этап 2.1.3

Подставим $2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Подставим $2$ в многочлен.

$2 \cdot 2^{3} - 5 \cdot 2^{2} + 4$

Этап 2.1.3.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$2 \cdot 8 - 5 \cdot 2^{2} + 4$

Этап 2.1.3.3

Умножим $2$ на $8$ .

$16 - 5 \cdot 2^{2} + 4$

Этап 2.1.3.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$16 - 5 \cdot 4 + 4$

Этап 2.1.3.5

Умножим $- 5$ на $4$ .

$16 - 20 + 4$

Этап 2.1.3.6

Вычтем $20$ из $16$ .

$- 4 + 4$

Этап 2.1.3.7

Добавим $- 4$ и $4$ .

$0$

Этап 2.1.4

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $p - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 p^{3} - 5 p^{2} + 4}{p - 2}$

Этап 2.1.5

Разделим $2 p^{3} - 5 p^{2} + 4$ на $p - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$p$

$2$

$2 p^{3}$

$5 p^{2}$

$0 p$

$4$

Этап 2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 p^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $p$ .

					$2 p^{2}$
	$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$

Этап 2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$2 p^{2}$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			+	$2 p^{3}$	-	$4 p^{2}$

Этап 2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 p^{3} - 4 p^{2}$ .

				$2 p^{2}$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$

Этап 2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 p^{2}$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$

Этап 2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 p^{2}$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$

Этап 2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- p^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $p$ .

				$2 p^{2}$	-	$p$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$

Этап 2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$2 p^{2}$	-	$p$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$
					-	$p^{2}$	+	$2 p$

Этап 2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- p^{2} + 2 p$ .

				$2 p^{2}$	-	$p$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$
					+	$p^{2}$	-	$2 p$

Этап 2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 p^{2}$	-	$p$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$
					+	$p^{2}$	-	$2 p$
							-	$2 p$

Этап 2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 p^{2}$	-	$p$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$
					+	$p^{2}$	-	$2 p$
							-	$2 p$	+	$4$

Этап 2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 p$ на член с максимальной степенью в делителе $p$ .

				$2 p^{2}$	-	$p$	-	$2$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$
					+	$p^{2}$	-	$2 p$
							-	$2 p$	+	$4$

Этап 2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$2 p^{2}$	-	$p$	-	$2$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$
					+	$p^{2}$	-	$2 p$
							-	$2 p$	+	$4$
							-	$2 p$	+	$4$

Этап 2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 p + 4$ .

				$2 p^{2}$	-	$p$	-	$2$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$
					+	$p^{2}$	-	$2 p$
							-	$2 p$	+	$4$
							+	$2 p$	-	$4$

Этап 2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 p^{2}$	-	$p$	-	$2$
$p$	-	$2$		$2 p^{3}$	-	$5 p^{2}$	+	$0 p$	+	$4$
			-	$2 p^{3}$	+	$4 p^{2}$
					-	$p^{2}$	+	$0 p$
					+	$p^{2}$	-	$2 p$
							-	$2 p$	+	$4$
							+	$2 p$	-	$4$
										$0$

Этап 2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$2 p^{2} - p - 2$

Этап 2.1.6

Запишем $2 p^{3} - 5 p^{2} + 4$ в виде набора множителей.

$5 ((p - 2) (2 p^{2} - p - 2))$

Этап 2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$5 (p - 2) (2 p^{2} - p - 2)$