Элемент. математика Примеры

${(m + n)}^{3} - {(m - n)}^{3}$

Этап 1

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = m + n$ и $b = m - n$ .

$(m + n - (m - n)) ({(m + n)}^{2} + (m + n) (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(m + n - m - - n) ({(m + n)}^{2} + (m + n) (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Этап 2.2

Умножим $- - n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$(m + n - m + 1 n) ({(m + n)}^{2} + (m + n) (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Этап 2.2.2

Умножим $n$ на $1$ .

$(m + n - m + n) ({(m + n)}^{2} + (m + n) (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Этап 2.3

Вычтем $m$ из $m$ .

$(n + 0 + n) ({(m + n)}^{2} + (m + n) (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Этап 2.4

Добавим $n$ и $0$ .

$(n + n) ({(m + n)}^{2} + (m + n) (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Этап 2.5

Добавим $n$ и $n$ .

$2 n ({(m + n)}^{2} + (m + n) (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Этап 2.6

Перепишем ${(m + n)}^{2}$ в виде $(m + n) (m + n)$ .

$2 n ((m + n) (m + n) + (m + n) (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Этап 2.7

Развернем $(m + n) (m + n)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 n (m (m + n) + n (m + n) + (m + n) (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Этап 2.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 n (m \cdot m + m n + n (m + n) + (m + n) (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Этап 2.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 n (m \cdot m + m n + n m + n \cdot n + (m + n) (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Этап 2.8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Умножим $m$ на $m$ .

$2 n (m^{2} + m n + n m + n \cdot n + (m + n) (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Этап 2.8.1.2

Умножим $n$ на $n$ .

$2 n (m^{2} + m n + n m + n^{2} + (m + n) (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Этап 2.8.2

Добавим $m n$ и $n m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Изменим порядок $n$ и $m$ .

$2 n (m^{2} + m n + m n + n^{2} + (m + n) (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Этап 2.8.2.2

Добавим $m n$ и $m n$ .

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + (m + n) (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Этап 2.9

Развернем $(m + n) (m - n)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m (m - n) + n (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Этап 2.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m \cdot m + m (- n) + n (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Этап 2.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m \cdot m + m (- n) + n m + n (- n) + {(m - n)}^{2})$

Этап 2.10

Объединим противоположные члены в $m \cdot m + m (- n) + n m + n (- n)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Изменим порядок множителей в членах $m (- n)$ и $n m$ .

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m \cdot m - m n + m n + n (- n) + {(m - n)}^{2})$

Этап 2.10.2

Добавим $- m n$ и $m n$ .

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m \cdot m + 0 + n (- n) + {(m - n)}^{2})$

Этап 2.10.3

Добавим $m \cdot m$ и $0$ .

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m \cdot m + n (- n) + {(m - n)}^{2})$

Этап 2.11

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Умножим $m$ на $m$ .

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} + n (- n) + {(m - n)}^{2})$

Этап 2.11.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} - n \cdot n + {(m - n)}^{2})$

Этап 2.11.3

Умножим $n$ на $n$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.3.1

Перенесем $n$ .

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} - (n \cdot n) + {(m - n)}^{2})$

Этап 2.11.3.2

Умножим $n$ на $n$ .

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} - n^{2} + {(m - n)}^{2})$

Этап 2.12

Перепишем ${(m - n)}^{2}$ в виде $(m - n) (m - n)$ .

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} - n^{2} + (m - n) (m - n))$

Этап 2.13

Развернем $(m - n) (m - n)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} - n^{2} + m (m - n) - n (m - n))$

Этап 2.13.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} - n^{2} + m \cdot m + m (- n) - n (m - n))$

Этап 2.13.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} - n^{2} + m \cdot m + m (- n) - n m - n (- n))$

Этап 2.14

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1.1

Умножим $m$ на $m$ .

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} - n^{2} + m^{2} + m (- n) - n m - n (- n))$

Этап 2.14.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} - n^{2} + m^{2} - m n - n m - n (- n))$

Этап 2.14.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} - n^{2} + m^{2} - m n - n m - 1 \cdot - 1 n \cdot n)$

Этап 2.14.1.4

Умножим $n$ на $n$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1.4.1

Перенесем $n$ .

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} - n^{2} + m^{2} - m n - n m - 1 \cdot - 1 (n \cdot n))$

Этап 2.14.1.4.2

Умножим $n$ на $n$ .

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} - n^{2} + m^{2} - m n - n m - 1 \cdot - 1 n^{2})$

Этап 2.14.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} - n^{2} + m^{2} - m n - n m + 1 n^{2})$

Этап 2.14.1.6

Умножим $n^{2}$ на $1$ .

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} - n^{2} + m^{2} - m n - n m + n^{2})$

Этап 2.14.2

Вычтем $n m$ из $- m n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.2.1

Перенесем $n$ .

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} - n^{2} + m^{2} - m n - 1 m n + n^{2})$

Этап 2.14.2.2

Вычтем $m n$ из $- m n$ .

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} - n^{2} + m^{2} - 2 m n + n^{2})$

Этап 2.15

Добавим $m^{2}$ и $m^{2}$ .

$2 n (2 m^{2} + 2 m n + n^{2} - n^{2} + m^{2} - 2 m n + n^{2})$

Этап 2.16

Добавим $2 m^{2}$ и $m^{2}$ .

$2 n (3 m^{2} + 2 m n + n^{2} - n^{2} - 2 m n + n^{2})$

Этап 2.17

Вычтем $2 m n$ из $2 m n$ .

$2 n (3 m^{2} + n^{2} - n^{2} + 0 + n^{2})$

Этап 2.18

Добавим $3 m^{2}$ и $0$ .

$2 n (3 m^{2} + n^{2} - n^{2} + n^{2})$

Этап 2.19

Вычтем $n^{2}$ из $n^{2}$ .

$2 n (3 m^{2} + 0 + n^{2})$

Этап 2.20

Добавим $3 m^{2}$ и $0$ .

$2 n (3 m^{2} + n^{2})$