Элемент. математика Примеры

${(a + b)}^{3} + {(c - d)}^{3}$

Этап 1

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = a + b$ и $b = c - d$ .

$(a + b + c - d) ({(a + b)}^{2} - (a + b) (c - d) + {(c - d)}^{2})$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(a + b)}^{2}$ в виде $(a + b) (a + b)$ .

$(a + b + c - d) ((a + b) (a + b) - (a + b) (c - d) + {(c - d)}^{2})$

Этап 2.2

Развернем $(a + b) (a + b)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(a + b + c - d) (a (a + b) + b (a + b) - (a + b) (c - d) + {(c - d)}^{2})$

Этап 2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(a + b + c - d) (a \cdot a + a b + b (a + b) - (a + b) (c - d) + {(c - d)}^{2})$

Этап 2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(a + b + c - d) (a \cdot a + a b + b a + b \cdot b - (a + b) (c - d) + {(c - d)}^{2})$

Этап 2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Умножим $a$ на $a$ .

$(a + b + c - d) (a^{2} + a b + b a + b \cdot b - (a + b) (c - d) + {(c - d)}^{2})$

Этап 2.3.1.2

Умножим $b$ на $b$ .

$(a + b + c - d) (a^{2} + a b + b a + b^{2} - (a + b) (c - d) + {(c - d)}^{2})$

Этап 2.3.2

Добавим $a b$ и $b a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Изменим порядок $b$ и $a$ .

$(a + b + c - d) (a^{2} + a b + a b + b^{2} - (a + b) (c - d) + {(c - d)}^{2})$

Этап 2.3.2.2

Добавим $a b$ и $a b$ .

$(a + b + c - d) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - (a + b) (c - d) + {(c - d)}^{2})$

Этап 2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$(a + b + c - d) (a^{2} + 2 a b + b^{2} + (- a - b) (c - d) + {(c - d)}^{2})$

Этап 2.5

Развернем $(- a - b) (c - d)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(a + b + c - d) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a (c - d) - b (c - d) + {(c - d)}^{2})$

Этап 2.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(a + b + c - d) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a c - a (- d) - b (c - d) + {(c - d)}^{2})$

Этап 2.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(a + b + c - d) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a c - a (- d) - b c - b (- d) + {(c - d)}^{2})$

Этап 2.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(a + b + c - d) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a c - 1 \cdot - 1 a d - b c - b (- d) + {(c - d)}^{2})$

Этап 2.6.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$(a + b + c - d) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a c + 1 a d - b c - b (- d) + {(c - d)}^{2})$

Этап 2.6.3

Умножим $a$ на $1$ .

$(a + b + c - d) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a c + a d - b c - b (- d) + {(c - d)}^{2})$

Этап 2.6.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(a + b + c - d) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a c + a d - b c - 1 \cdot - 1 b d + {(c - d)}^{2})$

Этап 2.6.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$(a + b + c - d) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a c + a d - b c + 1 b d + {(c - d)}^{2})$

Этап 2.6.6

Умножим $b$ на $1$ .

$(a + b + c - d) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a c + a d - b c + b d + {(c - d)}^{2})$

Этап 2.7

Перепишем ${(c - d)}^{2}$ в виде $(c - d) (c - d)$ .

$(a + b + c - d) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a c + a d - b c + b d + (c - d) (c - d))$

Этап 2.8

Развернем $(c - d) (c - d)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(a + b + c - d) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a c + a d - b c + b d + c (c - d) - d (c - d))$

Этап 2.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(a + b + c - d) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a c + a d - b c + b d + c \cdot c + c (- d) - d (c - d))$

Этап 2.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(a + b + c - d) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a c + a d - b c + b d + c \cdot c + c (- d) - d c - d (- d))$

Этап 2.9

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1.1

Умножим $c$ на $c$ .

$(a + b + c - d) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a c + a d - b c + b d + c^{2} + c (- d) - d c - d (- d))$

Этап 2.9.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(a + b + c - d) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a c + a d - b c + b d + c^{2} - c d - d c - d (- d))$

Этап 2.9.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(a + b + c - d) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a c + a d - b c + b d + c^{2} - c d - d c - 1 \cdot - 1 d \cdot d)$

Этап 2.9.1.4

Умножим $d$ на $d$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1.4.1

Перенесем $d$ .

$(a + b + c - d) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a c + a d - b c + b d + c^{2} - c d - d c - 1 \cdot - 1 (d \cdot d))$

Этап 2.9.1.4.2

Умножим $d$ на $d$ .

$(a + b + c - d) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a c + a d - b c + b d + c^{2} - c d - d c - 1 \cdot - 1 d^{2})$

Этап 2.9.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$(a + b + c - d) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a c + a d - b c + b d + c^{2} - c d - d c + 1 d^{2})$

Этап 2.9.1.6

Умножим $d^{2}$ на $1$ .

$(a + b + c - d) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a c + a d - b c + b d + c^{2} - c d - d c + d^{2})$

Этап 2.9.2

Вычтем $d c$ из $- c d$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Перенесем $d$ .

$(a + b + c - d) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a c + a d - b c + b d + c^{2} - c d - 1 c d + d^{2})$

Этап 2.9.2.2

Вычтем $c d$ из $- c d$ .

$(a + b + c - d) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a c + a d - b c + b d + c^{2} - 2 c d + d^{2})$