Элемент. математика Примеры

$4 t^{3} + 3 t^{2} - 5 t - 2$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 2$

Этап 3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$4 \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 - 2$

Этап 3.2

Возведем $1$ в степень $3$ .

$4 \cdot 1 + 3 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 - 2$

Этап 3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + 3 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 - 2$

Этап 3.4

Возведем $1$ в степень $2$ .

$4 + 3 \cdot 1 - 5 \cdot 1 - 2$

Этап 3.5

Умножим $3$ на $1$ .

$4 + 3 - 5 \cdot 1 - 2$

Этап 3.6

Добавим $4$ и $3$ .

$7 - 5 \cdot 1 - 2$

Этап 3.7

Умножим $- 5$ на $1$ .

$7 - 5 - 2$

Этап 3.8

Вычтем $5$ из $7$ .

$2 - 2$

Этап 3.9

Вычтем $2$ из $2$ .

$0$

Этап 4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $t - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{4 t^{3} + 3 t^{2} - 5 t - 2}{t - 1}$

Этап 5

Разделим $4 t^{3} + 3 t^{2} - 5 t - 2$ на $t - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$t$

$1$

$4 t^{3}$

$3 t^{2}$

$5 t$

$2$

Этап 5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 t^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $t$ .

					$4 t^{2}$
	$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$

Этап 5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$4 t^{2}$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			+	$4 t^{3}$	-	$4 t^{2}$

Этап 5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 t^{3} - 4 t^{2}$ .

				$4 t^{2}$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$

Этап 5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$4 t^{2}$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$

Этап 5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$4 t^{2}$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$

Этап 5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $7 t^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $t$ .

				$4 t^{2}$	+	$7 t$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$

Этап 5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$4 t^{2}$	+	$7 t$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$
					+	$7 t^{2}$	-	$7 t$

Этап 5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $7 t^{2} - 7 t$ .

				$4 t^{2}$	+	$7 t$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$
					-	$7 t^{2}$	+	$7 t$

Этап 5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$4 t^{2}$	+	$7 t$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$
					-	$7 t^{2}$	+	$7 t$
							+	$2 t$

Этап 5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$4 t^{2}$	+	$7 t$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$
					-	$7 t^{2}$	+	$7 t$
							+	$2 t$	-	$2$

Этап 5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 t$ на член с максимальной степенью в делителе $t$ .

				$4 t^{2}$	+	$7 t$	+	$2$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$
					-	$7 t^{2}$	+	$7 t$
							+	$2 t$	-	$2$

Этап 5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$4 t^{2}$	+	$7 t$	+	$2$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$
					-	$7 t^{2}$	+	$7 t$
							+	$2 t$	-	$2$
							+	$2 t$	-	$2$

Этап 5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 t - 2$ .

				$4 t^{2}$	+	$7 t$	+	$2$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$
					-	$7 t^{2}$	+	$7 t$
							+	$2 t$	-	$2$
							-	$2 t$	+	$2$

Этап 5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$4 t^{2}$	+	$7 t$	+	$2$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$
					-	$7 t^{2}$	+	$7 t$
							+	$2 t$	-	$2$
							-	$2 t$	+	$2$
										$0$

Этап 5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$4 t^{2} + 7 t + 2$

Этап 6

Запишем $4 t^{3} + 3 t^{2} - 5 t - 2$ в виде набора множителей.

$(t - 1) (4 t^{2} + 7 t + 2)$