Элемент. математика Примеры

$a^{2} - d^{2} + n^{2} - c^{2} - 2 a n - 2 c d$

Этап 1

Перегруппируем члены.

$a^{2} + n^{2} - 2 a n - d^{2} - c^{2} - 2 c d$

Этап 2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Переставляем члены.

$a^{2} - 2 a n + n^{2} - d^{2} - c^{2} - 2 c d$

Этап 2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 a n = 2 \cdot a \cdot n$

Этап 2.3

Перепишем многочлен.

$a^{2} - 2 \cdot a \cdot n + n^{2} - d^{2} - c^{2} - 2 c d$

Этап 2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = a$ и $b = n$ .

${(a - n)}^{2} - d^{2} - c^{2} - 2 c d$

Этап 3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ , а сумма — $b = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Изменим порядок членов.

${(a - n)}^{2} - c^{2} - d^{2} - 2 c d$

Этап 3.1.2

Изменим порядок $- d^{2}$ и $- 2 c d$ .

${(a - n)}^{2} - c^{2} - 2 c d - d^{2}$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 c d$ .

${(a - n)}^{2} - c^{2} - 2 (c d) - d^{2}$

Этап 3.1.4

Запишем $- 2$ как $- 1$ плюс $- 1$

${(a - n)}^{2} - c^{2} + (- 1 - 1) (c d) - d^{2}$

Этап 3.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

${(a - n)}^{2} - c^{2} - 1 (c d) - 1 (c d) - d^{2}$

Этап 3.1.6

Избавимся от ненужных скобок.

${(a - n)}^{2} - c^{2} - 1 c d - 1 (c d) - d^{2}$

Этап 3.1.7

Избавимся от ненужных скобок.

${(a - n)}^{2} - c^{2} - 1 c d - 1 c d - d^{2}$

Этап 3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

${(a - n)}^{2} + (- c^{2} - 1 c d) - 1 c d - d^{2}$

Этап 3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

${(a - n)}^{2} + c (- c - 1 d) + d (- 1 c - d)$

Этап 3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- c - 1 d$ .

${(a - n)}^{2} + (- c - 1 d) (c + d)$

Этап 4

Перепишем $- 1 d$ в виде $- d$ .

${(a - n)}^{2} + (- c - d) (c + d)$

Этап 5

Перепишем $(c + d) (c + d)$ в виде ${(c + d)}^{2}$ .

${(a - n)}^{2} - {(c + d)}^{2}$

Этап 6

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = a - n$ и $b = c + d$ .

$(a - n + c + d) (a - n - (c + d))$

Этап 7

Применим свойство дистрибутивности.

$(a - n + c + d) (a - n - c - d)$