Элемент. математика Примеры

a^{2} - d^{2} + n^{2} - c^{2} - 2 a n - 2 c d

$a^{2} - d^{2} + n^{2} - c^{2} - 2 a n - 2 c d$

Этап 1

Перегруппируем члены.

a^{2} + n^{2} - 2 a n - d^{2} - c^{2} - 2 c d

$a^{2} + n^{2} - 2 a n - d^{2} - c^{2} - 2 c d$

Этап 2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Переставляем члены.

a^{2} - 2 a n + n^{2} - d^{2} - c^{2} - 2 c d

$a^{2} - 2 a n + n^{2} - d^{2} - c^{2} - 2 c d$

Этап 2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

2 a n = 2 \cdot a \cdot n

$2 a n = 2 \cdot a \cdot n$

Этап 2.3

Перепишем многочлен.

a^{2} - 2 \cdot a \cdot n + n^{2} - d^{2} - c^{2} - 2 c d

$a^{2} - 2 \cdot a \cdot n + n^{2} - d^{2} - c^{2} - 2 c d$

Этап 2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена

a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}

$a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где

a = a

$a = a$ и

b = n

$b = n$ .

{(a - n)}^{2} - d^{2} - c^{2} - 2 c d

${(a - n)}^{2} - d^{2} - c^{2} - 2 c d$

{(a - n)}^{2} - d^{2} - c^{2} - 2 c d

${(a - n)}^{2} - d^{2} - c^{2} - 2 c d$

Этап 3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Для многочлена вида

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно

a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1

$a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ , а сумма —

b = - 2

$b = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Изменим порядок членов.

{(a - n)}^{2} - c^{2} - d^{2} - 2 c d

${(a - n)}^{2} - c^{2} - d^{2} - 2 c d$

Этап 3.1.2

Изменим порядок

- d^{2}

$- d^{2}$ и

- 2 c d

$- 2 c d$ .

{(a - n)}^{2} - c^{2} - 2 c d - d^{2}

${(a - n)}^{2} - c^{2} - 2 c d - d^{2}$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель

- 2

$- 2$ из

- 2 c d

$- 2 c d$ .

{(a - n)}^{2} - c^{2} - 2 (c d) - d^{2}

${(a - n)}^{2} - c^{2} - 2 (c d) - d^{2}$

Этап 3.1.4

Запишем

- 2

$- 2$ как

- 1

$- 1$ плюс

- 1

$- 1$

{(a - n)}^{2} - c^{2} + (- 1 - 1) (c d) - d^{2}

${(a - n)}^{2} - c^{2} + (- 1 - 1) (c d) - d^{2}$

Этап 3.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

{(a - n)}^{2} - c^{2} - 1 (c d) - 1 (c d) - d^{2}

${(a - n)}^{2} - c^{2} - 1 (c d) - 1 (c d) - d^{2}$

Этап 3.1.6

Избавимся от ненужных скобок.

{(a - n)}^{2} - c^{2} - 1 c d - 1 (c d) - d^{2}

${(a - n)}^{2} - c^{2} - 1 c d - 1 (c d) - d^{2}$

Этап 3.1.7

Избавимся от ненужных скобок.

{(a - n)}^{2} - c^{2} - 1 c d - 1 c d - d^{2}

${(a - n)}^{2} - c^{2} - 1 c d - 1 c d - d^{2}$

{(a - n)}^{2} - c^{2} - 1 c d - 1 c d - d^{2}

${(a - n)}^{2} - c^{2} - 1 c d - 1 c d - d^{2}$

Этап 3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

{(a - n)}^{2} + (- c^{2} - 1 c d) - 1 c d - d^{2}

${(a - n)}^{2} + (- c^{2} - 1 c d) - 1 c d - d^{2}$

Этап 3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

{(a - n)}^{2} + c (- c - 1 d) + d (- 1 c - d)

${(a - n)}^{2} + c (- c - 1 d) + d (- 1 c - d)$

{(a - n)}^{2} + c (- c - 1 d) + d (- 1 c - d)

${(a - n)}^{2} + c (- c - 1 d) + d (- 1 c - d)$

Этап 3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель

- c - 1 d

$- c - 1 d$ .

{(a - n)}^{2} + (- c - 1 d) (c + d)

${(a - n)}^{2} + (- c - 1 d) (c + d)$

{(a - n)}^{2} + (- c - 1 d) (c + d)

${(a - n)}^{2} + (- c - 1 d) (c + d)$

Этап 4

Перепишем

- 1 d

$- 1 d$ в виде

- d

$- d$ .

{(a - n)}^{2} + (- c - d) (c + d)

${(a - n)}^{2} + (- c - d) (c + d)$

Этап 5

Перепишем

(c + d) (c + d)

$(c + d) (c + d)$ в виде

{(c + d)}^{2}

${(c + d)}^{2}$ .

{(a - n)}^{2} - {(c + d)}^{2}

${(a - n)}^{2} - {(c + d)}^{2}$

Этап 6

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где

a = a - n

$a = a - n$ и

b = c + d

$b = c + d$ .

(a - n + c + d) (a - n - (c + d))

$(a - n + c + d) (a - n - (c + d))$

Этап 7

Применим свойство дистрибутивности.

(a - n + c + d) (a - n - c - d)

$(a - n + c + d) (a - n - c - d)$