Элемент. математика Примеры

$\frac{8 a + 5}{a^{2} \cdot (2 a) - 35} - \frac{6 a - 5}{a^{2} - 10 a + 25}$

Этап 1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{8 a + 5}{a^{2} \cdot (2 a) - 35} - \frac{6 a - 5}{a^{2} - 10 a + 5^{2}}$

Этап 1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$10 a = 2 \cdot a \cdot 5$

Этап 1.3

Перепишем многочлен.

$\frac{8 a + 5}{a^{2} \cdot (2 a) - 35} - \frac{6 a - 5}{a^{2} - 2 \cdot a \cdot 5 + 5^{2}}$

Этап 1.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = a$ и $b = 5$ .

$\frac{8 a + 5}{a^{2} \cdot (2 a) - 35} - \frac{6 a - 5}{{(a - 5)}^{2}}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{8 a + 5}{a^{2} \cdot (2 a) - 35}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(a - 5)}^{2}}{{(a - 5)}^{2}}$ .

$\frac{8 a + 5}{a^{2} \cdot (2 a) - 35} \cdot \frac{{(a - 5)}^{2}}{{(a - 5)}^{2}} - \frac{6 a - 5}{{(a - 5)}^{2}}$

Этап 3

Чтобы записать $- \frac{6 a - 5}{{(a - 5)}^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{a^{2} \cdot (2 a) - 35}{a^{2} \cdot (2 a) - 35}$ .

$\frac{8 a + 5}{a^{2} \cdot (2 a) - 35} \cdot \frac{{(a - 5)}^{2}}{{(a - 5)}^{2}} - \frac{6 a - 5}{{(a - 5)}^{2}} \cdot \frac{a^{2} \cdot (2 a) - 35}{a^{2} \cdot (2 a) - 35}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(a^{2} \cdot (2 a) - 35) {(a - 5)}^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{8 a + 5}{a^{2} \cdot (2 a) - 35}$ на $\frac{{(a - 5)}^{2}}{{(a - 5)}^{2}}$ .

$\frac{(8 a + 5) {(a - 5)}^{2}}{(a^{2} \cdot (2 a) - 35) {(a - 5)}^{2}} - \frac{6 a - 5}{{(a - 5)}^{2}} \cdot \frac{a^{2} \cdot (2 a) - 35}{a^{2} \cdot (2 a) - 35}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{6 a - 5}{{(a - 5)}^{2}}$ на $\frac{a^{2} \cdot (2 a) - 35}{a^{2} \cdot (2 a) - 35}$ .

$\frac{(8 a + 5) {(a - 5)}^{2}}{(a^{2} \cdot (2 a) - 35) {(a - 5)}^{2}} - \frac{(6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(a^{2} \cdot (2 a) - 35) {(a - 5)}^{2}$ .

$\frac{(8 a + 5) {(a - 5)}^{2}}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)} - \frac{(6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(8 a + 5) {(a - 5)}^{2} - (6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 6

Перепишем $\frac{(8 a + 5) {(a - 5)}^{2} - (6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем ${(a - 5)}^{2}$ в виде $(a - 5) (a - 5)$ .

$\frac{(8 a + 5) ((a - 5) (a - 5)) - (6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 6.2

Развернем $(a - 5) (a - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(8 a + 5) (a (a - 5) - 5 (a - 5)) - (6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 6.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(8 a + 5) (a \cdot a + a \cdot - 5 - 5 (a - 5)) - (6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 6.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(8 a + 5) (a \cdot a + a \cdot - 5 - 5 a - 5 \cdot - 5) - (6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 6.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Умножим $a$ на $a$ .

$\frac{(8 a + 5) (a^{2} + a \cdot - 5 - 5 a - 5 \cdot - 5) - (6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 6.3.1.2

Перенесем $- 5$ влево от $a$ .

$\frac{(8 a + 5) (a^{2} - 5 a - 5 a - 5 \cdot - 5) - (6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 6.3.1.3

Умножим $- 5$ на $- 5$ .

$\frac{(8 a + 5) (a^{2} - 5 a - 5 a + 25) - (6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 6.3.2

Вычтем $5 a$ из $- 5 a$ .

$\frac{(8 a + 5) (a^{2} - 10 a + 25) - (6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 6.4

Развернем $(8 a + 5) (a^{2} - 10 a + 25)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{8 a \cdot a^{2} + 8 a (- 10 a) + 8 a \cdot 25 + 5 a^{2} + 5 (- 10 a) + 5 \cdot 25 - (6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 6.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Умножим $a$ на $a^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1

Перенесем $a^{2}$ .

$\frac{8 (a^{2} a) + 8 a (- 10 a) + 8 a \cdot 25 + 5 a^{2} + 5 (- 10 a) + 5 \cdot 25 - (6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 6.5.1.2

Умножим $a^{2}$ на $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.2.1

Возведем $a$ в степень $1$ .

$\frac{8 (a^{2} a^{1}) + 8 a (- 10 a) + 8 a \cdot 25 + 5 a^{2} + 5 (- 10 a) + 5 \cdot 25 - (6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 6.5.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{8 a^{2 + 1} + 8 a (- 10 a) + 8 a \cdot 25 + 5 a^{2} + 5 (- 10 a) + 5 \cdot 25 - (6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 6.5.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{8 a^{3} + 8 a (- 10 a) + 8 a \cdot 25 + 5 a^{2} + 5 (- 10 a) + 5 \cdot 25 - (6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 6.5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{8 a^{3} + 8 \cdot - 10 a \cdot a + 8 a \cdot 25 + 5 a^{2} + 5 (- 10 a) + 5 \cdot 25 - (6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 6.5.3

Умножим $a$ на $a$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.1

Перенесем $a$ .

$\frac{8 a^{3} + 8 \cdot - 10 (a \cdot a) + 8 a \cdot 25 + 5 a^{2} + 5 (- 10 a) + 5 \cdot 25 - (6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 6.5.3.2

Умножим $a$ на $a$ .

$\frac{8 a^{3} + 8 \cdot - 10 a^{2} + 8 a \cdot 25 + 5 a^{2} + 5 (- 10 a) + 5 \cdot 25 - (6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 6.5.4

Умножим $8$ на $- 10$ .

$\frac{8 a^{3} - 80 a^{2} + 8 a \cdot 25 + 5 a^{2} + 5 (- 10 a) + 5 \cdot 25 - (6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 6.5.5

Умножим $25$ на $8$ .

$\frac{8 a^{3} - 80 a^{2} + 200 a + 5 a^{2} + 5 (- 10 a) + 5 \cdot 25 - (6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 6.5.6

Умножим $- 10$ на $5$ .

$\frac{8 a^{3} - 80 a^{2} + 200 a + 5 a^{2} - 50 a + 5 \cdot 25 - (6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 6.5.7

Умножим $5$ на $25$ .

$\frac{8 a^{3} - 80 a^{2} + 200 a + 5 a^{2} - 50 a + 125 - (6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 6.6

Добавим $- 80 a^{2}$ и $5 a^{2}$ .

$\frac{8 a^{3} - 75 a^{2} + 200 a - 50 a + 125 - (6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 6.7

Вычтем $50 a$ из $200 a$ .

$\frac{8 a^{3} - 75 a^{2} + 150 a + 125 - (6 a - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 6.8

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 a^{3} - 75 a^{2} + 150 a + 125 + (- (6 a) - - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 6.9

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\frac{8 a^{3} - 75 a^{2} + 150 a + 125 + (- 6 a - - 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 6.10

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$\frac{8 a^{3} - 75 a^{2} + 150 a + 125 + (- 6 a + 5) (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 6.11

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.11.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{8 a^{3} - 75 a^{2} + 150 a + 125 + (- 6 a + 5) (2 a^{2} a - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 6.11.2

Умножим $a^{2}$ на $a$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.11.2.1

Перенесем $a$ .

$\frac{8 a^{3} - 75 a^{2} + 150 a + 125 + (- 6 a + 5) (2 (a \cdot a^{2}) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 6.11.2.2

Умножим $a$ на $a^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.11.2.2.1

Возведем $a$ в степень $1$ .

$\frac{8 a^{3} - 75 a^{2} + 150 a + 125 + (- 6 a + 5) (2 (a^{1} a^{2}) - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 6.11.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{8 a^{3} - 75 a^{2} + 150 a + 125 + (- 6 a + 5) (2 a^{1 + 2} - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 6.11.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{8 a^{3} - 75 a^{2} + 150 a + 125 + (- 6 a + 5) (2 a^{3} - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 6.12

Развернем $(- 6 a + 5) (2 a^{3} - 35)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 a^{3} - 75 a^{2} + 150 a + 125 - 6 a (2 a^{3} - 35) + 5 (2 a^{3} - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 6.12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 a^{3} - 75 a^{2} + 150 a + 125 - 6 a (2 a^{3}) - 6 a \cdot - 35 + 5 (2 a^{3} - 35)}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 6.12.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 a^{3} - 75 a^{2} + 150 a + 125 - 6 a (2 a^{3}) - 6 a \cdot - 35 + 5 (2 a^{3}) + 5 \cdot - 35}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 6.13

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.13.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{8 a^{3} - 75 a^{2} + 150 a + 125 - 6 \cdot 2 a \cdot a^{3} - 6 a \cdot - 35 + 5 (2 a^{3}) + 5 \cdot - 35}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 6.13.2

Умножим $a$ на $a^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.13.2.1

Перенесем $a^{3}$ .

$\frac{8 a^{3} - 75 a^{2} + 150 a + 125 - 6 \cdot 2 (a^{3} a) - 6 a \cdot - 35 + 5 (2 a^{3}) + 5 \cdot - 35}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 6.13.2.2

Умножим $a^{3}$ на $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.13.2.2.1

Возведем $a$ в степень $1$ .

$\frac{8 a^{3} - 75 a^{2} + 150 a + 125 - 6 \cdot 2 (a^{3} a^{1}) - 6 a \cdot - 35 + 5 (2 a^{3}) + 5 \cdot - 35}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 6.13.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{8 a^{3} - 75 a^{2} + 150 a + 125 - 6 \cdot 2 a^{3 + 1} - 6 a \cdot - 35 + 5 (2 a^{3}) + 5 \cdot - 35}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 6.13.2.3

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{8 a^{3} - 75 a^{2} + 150 a + 125 - 6 \cdot 2 a^{4} - 6 a \cdot - 35 + 5 (2 a^{3}) + 5 \cdot - 35}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 6.13.3

Умножим $- 6$ на $2$ .

$\frac{8 a^{3} - 75 a^{2} + 150 a + 125 - 12 a^{4} - 6 a \cdot - 35 + 5 (2 a^{3}) + 5 \cdot - 35}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 6.13.4

Умножим $- 35$ на $- 6$ .

$\frac{8 a^{3} - 75 a^{2} + 150 a + 125 - 12 a^{4} + 210 a + 5 (2 a^{3}) + 5 \cdot - 35}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 6.13.5

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{8 a^{3} - 75 a^{2} + 150 a + 125 - 12 a^{4} + 210 a + 10 a^{3} + 5 \cdot - 35}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 6.13.6

Умножим $5$ на $- 35$ .

$\frac{8 a^{3} - 75 a^{2} + 150 a + 125 - 12 a^{4} + 210 a + 10 a^{3} - 175}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 6.14

Добавим $8 a^{3}$ и $10 a^{3}$ .

$\frac{18 a^{3} - 75 a^{2} + 150 a + 125 - 12 a^{4} + 210 a - 175}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 6.15

Добавим $150 a$ и $210 a$ .

$\frac{18 a^{3} - 75 a^{2} + 360 a + 125 - 12 a^{4} - 175}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 6.16

Вычтем $175$ из $125$ .

$\frac{18 a^{3} - 75 a^{2} + 360 a - 12 a^{4} - 50}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 6.17

Изменим порядок членов.

$\frac{- 12 a^{4} + 18 a^{3} - 75 a^{2} + 360 a - 50}{{(a - 5)}^{2} (a^{2} \cdot (2 a) - 35)}$

Этап 6.18

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 12 a^{4} + 18 a^{3} - 75 a^{2} + 360 a - 50}{{(a - 5)}^{2} (2 a^{2} a - 35)}$

Этап 6.19

Умножим $a^{2}$ на $a$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.19.1

Перенесем $a$ .

$\frac{- 12 a^{4} + 18 a^{3} - 75 a^{2} + 360 a - 50}{{(a - 5)}^{2} (2 (a \cdot a^{2}) - 35)}$

Этап 6.19.2

Умножим $a$ на $a^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.19.2.1

Возведем $a$ в степень $1$ .

$\frac{- 12 a^{4} + 18 a^{3} - 75 a^{2} + 360 a - 50}{{(a - 5)}^{2} (2 (a^{1} a^{2}) - 35)}$

Этап 6.19.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 12 a^{4} + 18 a^{3} - 75 a^{2} + 360 a - 50}{{(a - 5)}^{2} (2 a^{1 + 2} - 35)}$

Этап 6.19.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{- 12 a^{4} + 18 a^{3} - 75 a^{2} + 360 a - 50}{{(a - 5)}^{2} (2 a^{3} - 35)}$