Элемент. математика Примеры

$\frac{1}{a^{2} - 1} - \frac{a - 1}{a^{2} + 3 a - 4}$

Этап 1

Разложим $a^{2} + 3 a - 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 4$ , а сумма — $3$ .

$- 1, 4$

Этап 1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{1}{a^{2} - 1} - \frac{a - 1}{(a - 1) (a + 4)}$

Этап 2

Сократим общий множитель $a - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{a^{2} - 1} - \frac{a - 1}{(a - 1) (a + 4)}$

Этап 2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{a^{2} - 1} - \frac{1}{a + 4}$

Этап 3

Чтобы записать $\frac{1}{a^{2} - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{a + 4}{a + 4}$ .

$\frac{1}{a^{2} - 1} \cdot \frac{a + 4}{a + 4} - \frac{1}{a + 4}$

Этап 4

Чтобы записать $- \frac{1}{a + 4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$ .

$\frac{1}{a^{2} - 1} \cdot \frac{a + 4}{a + 4} - \frac{1}{a + 4} \cdot \frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$

Этап 5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(a^{2} - 1) (a + 4)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\frac{1}{a^{2} - 1}$ на $\frac{a + 4}{a + 4}$ .

$\frac{a + 4}{(a^{2} - 1) (a + 4)} - \frac{1}{a + 4} \cdot \frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$

Этап 5.2

Умножим $\frac{1}{a + 4}$ на $\frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$ .

$\frac{a + 4}{(a^{2} - 1) (a + 4)} - \frac{a^{2} - 1}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

Этап 5.3

Изменим порядок множителей в $(a^{2} - 1) (a + 4)$ .

$\frac{a + 4}{(a + 4) (a^{2} - 1)} - \frac{a^{2} - 1}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{a + 4 - (a^{2} - 1)}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

Этап 7

Перепишем $\frac{a + 4 - (a^{2} - 1)}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a + 4 - a^{2} - - 1}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

Этап 7.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{a + 4 - a^{2} + 1}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

Этап 7.3

Добавим $4$ и $1$ .

$\frac{a - a^{2} + 5}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

Этап 7.4

Изменим порядок членов.

$\frac{- a^{2} + a + 5}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

Этап 7.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- a^{2} + a + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- a^{2}$ .

$\frac{- (a^{2}) + a + 5}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

Этап 7.5.2

Вынесем множитель $- 1$ из $a$ .

$\frac{- (a^{2}) - 1 (- a) + 5}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

Этап 7.5.3

Перепишем $5$ в виде $- 1 (- 5)$ .

$\frac{- (a^{2}) - 1 (- a) - 1 (- 5)}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

Этап 7.5.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (a^{2}) - 1 (- a)$ .

$\frac{- (a^{2} - a) - 1 (- 5)}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

Этап 7.5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (a^{2} - a) - 1 (- 5)$ .

$\frac{- (a^{2} - a - 5)}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

Этап 7.6

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{- (a^{2} - a - 5)}{(a + 4) (a^{2} - 1^{2})}$

Этап 7.7

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = a$ и $b = 1$ .

$\frac{- (a^{2} - a - 5)}{(a + 4) ((a + 1) (a - 1))}$

Этап 7.7.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{- (a^{2} - a - 5)}{(a + 4) (a + 1) (a - 1)}$