Элемент. математика Примеры

$n^{3} + n^{2} - 1100$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 1100, \pm 2, \pm 550, \pm 4, \pm 275, \pm 5, \pm 220, \pm 10, \pm 110, \pm 11, \pm 100, \pm 20, \pm 55, \pm 22, \pm 50, \pm 25, \pm 44$

$q = \pm 1$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 1100, \pm 2, \pm 550, \pm 4, \pm 275, \pm 5, \pm 220, \pm 10, \pm 110, \pm 11, \pm 100, \pm 20, \pm 55, \pm 22, \pm 50, \pm 25, \pm 44$

Этап 3

Подставим $10$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $10$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $10$ в многочлен.

$10^{3} + 10^{2} - 1100$

Этап 3.2

Возведем $10$ в степень $3$ .

$1000 + 10^{2} - 1100$

Этап 3.3

Возведем $10$ в степень $2$ .

$1000 + 100 - 1100$

Этап 3.4

Добавим $1000$ и $100$ .

$1100 - 1100$

Этап 3.5

Вычтем $1100$ из $1100$ .

$0$

Этап 4

Поскольку $10$ — известный корень, разделим многочлен на $n - 10$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{n^{3} + n^{2} - 1100}{n - 10}$

Этап 5

Разделим $n^{3} + n^{2} - 1100$ на $n - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$n$

$10$

$n^{3}$

$n^{2}$

$0 n$

$1100$

Этап 5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $n^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $n$ .

					$n^{2}$
	$n$	-	$10$		$n^{3}$	+	$n^{2}$	+	$0 n$	-	$1100$

Этап 5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$n^{2}$
$n$	-	$10$		$n^{3}$	+	$n^{2}$	+	$0 n$	-	$1100$
			+	$n^{3}$	-	$10 n^{2}$

Этап 5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $n^{3} - 10 n^{2}$ .

				$n^{2}$
$n$	-	$10$		$n^{3}$	+	$n^{2}$	+	$0 n$	-	$1100$
			-	$n^{3}$	+	$10 n^{2}$

Этап 5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$n^{2}$
$n$	-	$10$		$n^{3}$	+	$n^{2}$	+	$0 n$	-	$1100$
			-	$n^{3}$	+	$10 n^{2}$
					+	$11 n^{2}$

Этап 5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$n^{2}$
$n$	-	$10$		$n^{3}$	+	$n^{2}$	+	$0 n$	-	$1100$
			-	$n^{3}$	+	$10 n^{2}$
					+	$11 n^{2}$	+	$0 n$

Этап 5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $11 n^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $n$ .

				$n^{2}$	+	$11 n$
$n$	-	$10$		$n^{3}$	+	$n^{2}$	+	$0 n$	-	$1100$
			-	$n^{3}$	+	$10 n^{2}$
					+	$11 n^{2}$	+	$0 n$

Этап 5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$n^{2}$	+	$11 n$
$n$	-	$10$		$n^{3}$	+	$n^{2}$	+	$0 n$	-	$1100$
			-	$n^{3}$	+	$10 n^{2}$
					+	$11 n^{2}$	+	$0 n$
					+	$11 n^{2}$	-	$110 n$

Этап 5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $11 n^{2} - 110 n$ .

				$n^{2}$	+	$11 n$
$n$	-	$10$		$n^{3}$	+	$n^{2}$	+	$0 n$	-	$1100$
			-	$n^{3}$	+	$10 n^{2}$
					+	$11 n^{2}$	+	$0 n$
					-	$11 n^{2}$	+	$110 n$

Этап 5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$n^{2}$	+	$11 n$
$n$	-	$10$		$n^{3}$	+	$n^{2}$	+	$0 n$	-	$1100$
			-	$n^{3}$	+	$10 n^{2}$
					+	$11 n^{2}$	+	$0 n$
					-	$11 n^{2}$	+	$110 n$
							+	$110 n$

Этап 5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$n^{2}$	+	$11 n$
$n$	-	$10$		$n^{3}$	+	$n^{2}$	+	$0 n$	-	$1100$
			-	$n^{3}$	+	$10 n^{2}$
					+	$11 n^{2}$	+	$0 n$
					-	$11 n^{2}$	+	$110 n$
							+	$110 n$	-	$1100$

Этап 5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $110 n$ на член с максимальной степенью в делителе $n$ .

				$n^{2}$	+	$11 n$	+	$110$
$n$	-	$10$		$n^{3}$	+	$n^{2}$	+	$0 n$	-	$1100$
			-	$n^{3}$	+	$10 n^{2}$
					+	$11 n^{2}$	+	$0 n$
					-	$11 n^{2}$	+	$110 n$
							+	$110 n$	-	$1100$

Этап 5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$n^{2}$	+	$11 n$	+	$110$
$n$	-	$10$		$n^{3}$	+	$n^{2}$	+	$0 n$	-	$1100$
			-	$n^{3}$	+	$10 n^{2}$
					+	$11 n^{2}$	+	$0 n$
					-	$11 n^{2}$	+	$110 n$
							+	$110 n$	-	$1100$
							+	$110 n$	-	$1100$

Этап 5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $110 n - 1100$ .

				$n^{2}$	+	$11 n$	+	$110$
$n$	-	$10$		$n^{3}$	+	$n^{2}$	+	$0 n$	-	$1100$
			-	$n^{3}$	+	$10 n^{2}$
					+	$11 n^{2}$	+	$0 n$
					-	$11 n^{2}$	+	$110 n$
							+	$110 n$	-	$1100$
							-	$110 n$	+	$1100$

Этап 5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$n^{2}$	+	$11 n$	+	$110$
$n$	-	$10$		$n^{3}$	+	$n^{2}$	+	$0 n$	-	$1100$
			-	$n^{3}$	+	$10 n^{2}$
					+	$11 n^{2}$	+	$0 n$
					-	$11 n^{2}$	+	$110 n$
							+	$110 n$	-	$1100$
							-	$110 n$	+	$1100$
										$0$

Этап 5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$n^{2} + 11 n + 110$

Этап 6

Запишем $n^{3} + n^{2} - 1100$ в виде набора множителей.

$(n - 10) (n^{2} + 11 n + 110)$