Элемент. математика Примеры

$n^{2} - \frac{m^{2}}{n^{2} - 2 m n + m^{2}}$

Этап 1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 m n = 2 \cdot n \cdot m$

Этап 1.2

Перепишем многочлен.

$n^{2} - \frac{m^{2}}{n^{2} - 2 \cdot n \cdot m + m^{2}}$

Этап 1.3

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = n$ и $b = m$ .

$n^{2} - \frac{m^{2}}{{(n - m)}^{2}}$

Этап 2

Перепишем $n^{2} - \frac{m^{2}}{{(n - m)}^{2}}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $\frac{m^{2}}{{(n - m)}^{2}}$ в виде ${(\frac{m}{n - m})}^{2}$ .

$n^{2} - {(\frac{m}{n - m})}^{2}$

Этап 2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = n$ и $b = \frac{m}{n - m}$ .

$(n + \frac{m}{n - m}) (n - \frac{m}{n - m})$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы записать $n$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{n - m}{n - m}$ .

$(\frac{n (n - m)}{n - m} + \frac{m}{n - m}) (n - \frac{m}{n - m})$

Этап 2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{n (n - m) + m}{n - m} (n - \frac{m}{n - m})$

Этап 2.3.3

Перепишем $\frac{n (n - m) + m}{n - m}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{n \cdot n + n (- m) + m}{n - m} (n - \frac{m}{n - m})$

Этап 2.3.3.2

Умножим $n$ на $n$ .

$\frac{n^{2} + n (- m) + m}{n - m} (n - \frac{m}{n - m})$

Этап 2.3.3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{n^{2} - n m + m}{n - m} (n - \frac{m}{n - m})$

Этап 2.3.4

Чтобы записать $n$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{n - m}{n - m}$ .

$\frac{n^{2} - n m + m}{n - m} (\frac{n (n - m)}{n - m} - \frac{m}{n - m})$

Этап 2.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{n^{2} - n m + m}{n - m} \cdot \frac{n (n - m) - m}{n - m}$

Этап 2.3.6

Перепишем $\frac{n (n - m) - m}{n - m}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{n^{2} - n m + m}{n - m} \cdot \frac{n \cdot n + n (- m) - m}{n - m}$

Этап 2.3.6.2

Умножим $n$ на $n$ .

$\frac{n^{2} - n m + m}{n - m} \cdot \frac{n^{2} + n (- m) - m}{n - m}$

Этап 2.3.6.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{n^{2} - n m + m}{n - m} \cdot \frac{n^{2} - n m - m}{n - m}$