Элемент. математика Примеры

$\frac{4 a^{3} - 4 {(a + h)}^{3}}{h}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 a^{3} - 4 {(a + h)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 a^{3}$ .

$\frac{4 (a^{3}) - 4 {(a + h)}^{3}}{h}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 {(a + h)}^{3}$ .

$\frac{4 (a^{3}) + 4 (- {(a + h)}^{3})}{h}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (a^{3}) + 4 (- {(a + h)}^{3})$ .

$\frac{4 (a^{3} - {(a + h)}^{3})}{h}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = a$ и $b = a + h$ .

$\frac{4 ((a - (a + h)) (a^{2} + a (a + h) + {(a + h)}^{2}))}{h}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 ((a - a - h) (a^{2} + a (a + h) + {(a + h)}^{2}))}{h}$

Этап 1.3.2

Вычтем $a$ из $a$ .

$\frac{4 ((0 - h) (a^{2} + a (a + h) + {(a + h)}^{2}))}{h}$

Этап 1.3.3

Вычтем $h$ из $0$ .

$\frac{4 (- h (a^{2} + a (a + h) + {(a + h)}^{2}))}{h}$

Этап 1.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (- h (a^{2} + a \cdot a + a h + {(a + h)}^{2}))}{h}$

Этап 1.3.5

Умножим $a$ на $a$ .

$\frac{4 (- h (a^{2} + a^{2} + a h + {(a + h)}^{2}))}{h}$

Этап 1.3.6

Перепишем ${(a + h)}^{2}$ в виде $(a + h) (a + h)$ .

$\frac{4 (- h (a^{2} + a^{2} + a h + (a + h) (a + h)))}{h}$

Этап 1.3.7

Развернем $(a + h) (a + h)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (- h (a^{2} + a^{2} + a h + a (a + h) + h (a + h)))}{h}$

Этап 1.3.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (- h (a^{2} + a^{2} + a h + a \cdot a + a h + h (a + h)))}{h}$

Этап 1.3.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (- h (a^{2} + a^{2} + a h + a \cdot a + a h + h a + h \cdot h))}{h}$

Этап 1.3.8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1.1

Умножим $a$ на $a$ .

$\frac{4 (- h (a^{2} + a^{2} + a h + a^{2} + a h + h a + h \cdot h))}{h}$

Этап 1.3.8.1.2

Умножим $h$ на $h$ .

$\frac{4 (- h (a^{2} + a^{2} + a h + a^{2} + a h + h a + h^{2}))}{h}$

Этап 1.3.8.2

Добавим $a h$ и $h a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.2.1

Изменим порядок $h$ и $a$ .

$\frac{4 (- h (a^{2} + a^{2} + a h + a^{2} + a h + a h + h^{2}))}{h}$

Этап 1.3.8.2.2

Добавим $a h$ и $a h$ .

$\frac{4 (- h (a^{2} + a^{2} + a h + a^{2} + 2 a h + h^{2}))}{h}$

Этап 1.3.9

Добавим $a^{2}$ и $a^{2}$ .

$\frac{4 (- h (2 a^{2} + a h + a^{2} + 2 a h + h^{2}))}{h}$

Этап 1.3.10

Добавим $2 a^{2}$ и $a^{2}$ .

$\frac{4 (- h (3 a^{2} + a h + 2 a h + h^{2}))}{h}$

Этап 1.3.11

Добавим $a h$ и $2 a h$ .

$\frac{4 (- h (3 a^{2} + 3 a h + h^{2}))}{h}$

$\frac{4 \cdot - 1 h (3 a^{2} + 3 a h + h^{2})}{h}$

Этап 1.4

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{- (4 h (3 a^{2} + 3 a h + h^{2}))}{h}$

Этап 1.4.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{- 4 (h (3 a^{2} + 3 a h + h^{2}))}{h}$

$\frac{- 4 h (3 a^{2} + 3 a h + h^{2})}{h}$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим общий множитель $h$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 h (3 a^{2} + 3 a h + h^{2})}{h}$

Этап 2.1.2

Разделим $- 4 (3 a^{2} + 3 a h + h^{2})$ на $1$ .

$- 4 (3 a^{2} + 3 a h + h^{2})$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 (3 a^{2}) - 4 (3 a h) - 4 h^{2}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $3$ на $- 4$ .

$- 12 a^{2} - 4 (3 a h) - 4 h^{2}$

Этап 3.2

Умножим $3$ на $- 4$ .

$- 12 a^{2} - 12 (a h) - 4 h^{2}$

$- 12 a^{2} - 12 a h - 4 h^{2}$