Элемент. математика Примеры

3

$3$ ,

7

$7$ ,

11

$11$ ,

15

$15$

Этап 1

Найдем среднее.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Среднее арифметическое значение набора чисел ― это их сумма, деленная на число членов.

¯ x = \frac{3 + 7 + 11 + 15}{4}

$\overline{x} = \frac{3 + 7 + 11 + 15}{4}$

Этап 1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Добавим

3

$3$ и

7

$7$ .

¯ x = \frac{10 + 11 + 15}{4}

$\overline{x} = \frac{10 + 11 + 15}{4}$

Этап 1.2.2

Добавим

10

$10$ и

11

$11$ .

¯ x = \frac{21 + 15}{4}

$\overline{x} = \frac{21 + 15}{4}$

Этап 1.2.3

Добавим

21

$21$ и

15

$15$ .

¯ x = \frac{36}{4}

$\overline{x} = \frac{36}{4}$

¯ x = \frac{36}{4}

$\overline{x} = \frac{36}{4}$

Этап 1.3

Разделим

36

$36$ на

4

$4$ .

¯ x = 9

$\overline{x} = 9$

¯ x = 9

$\overline{x} = 9$

Этап 2

Упростим каждое значение в списке.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Преобразуем

3

$3$ в десятичное представление.

3

$3$

Этап 2.2

Преобразуем

7

$7$ в десятичное представление.

7

$7$

Этап 2.3

Преобразуем

11

$11$ в десятичное представление.

11

$11$

Этап 2.4

Преобразуем

15

$15$ в десятичное представление.

15

$15$

Этап 2.5

Упрощенные значения:

3, 7, 11, 15

$3, 7, 11, 15$ .

3, 7, 11, 15

$3, 7, 11, 15$

3, 7, 11, 15

$3, 7, 11, 15$

Этап 3

Зададим формулу для стандартного отклонения выборки. Стандартное отклонение выборки данных — это мера разброса его значений.

s = n \sum i = 1 \sqrt{\frac{{(x_{i} - x_{a v g})}_{i}^{2}}{n - 1}}

$s = \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{\frac{{(x_{i} - x_{a v g})}^{2}}{n - 1}}$

Этап 4

Запишем формулу стандартного отклонения для этого набора чисел.

s = \sqrt{\frac{{(3 - 9)}^{2} + {(7 - 9)}^{2} + {(11 - 9)}^{2} + {(15 - 9)}^{2}}{4 - 1}}

$s = \sqrt{\frac{{(3 - 9)}^{2} + {(7 - 9)}^{2} + {(11 - 9)}^{2} + {(15 - 9)}^{2}}{4 - 1}}$

Этап 5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем

9

$9$ из

3

$3$ .

s = \sqrt{\frac{{(- 6)}^{2} + {(7 - 9)}^{2} + {(11 - 9)}^{2} + {(15 - 9)}^{2}}{4 - 1}}

$s = \sqrt{\frac{{(- 6)}^{2} + {(7 - 9)}^{2} + {(11 - 9)}^{2} + {(15 - 9)}^{2}}{4 - 1}}$

Этап 5.2

Возведем

- 6

$- 6$ в степень

2

$2$ .

s = \sqrt{\frac{36 + {(7 - 9)}^{2} + {(11 - 9)}^{2} + {(15 - 9)}^{2}}{4 - 1}}

$s = \sqrt{\frac{36 + {(7 - 9)}^{2} + {(11 - 9)}^{2} + {(15 - 9)}^{2}}{4 - 1}}$

Этап 5.3

Вычтем

9

$9$ из

7

$7$ .

s = \sqrt{\frac{36 + {(- 2)}^{2} + {(11 - 9)}^{2} + {(15 - 9)}^{2}}{4 - 1}}

$s = \sqrt{\frac{36 + {(- 2)}^{2} + {(11 - 9)}^{2} + {(15 - 9)}^{2}}{4 - 1}}$

Этап 5.4

Возведем

- 2

$- 2$ в степень

2

$2$ .

s = \sqrt{\frac{36 + 4 + {(11 - 9)}^{2} + {(15 - 9)}^{2}}{4 - 1}}

$s = \sqrt{\frac{36 + 4 + {(11 - 9)}^{2} + {(15 - 9)}^{2}}{4 - 1}}$

Этап 5.5

Вычтем

9

$9$ из

11

$11$ .

s = \sqrt{\frac{36 + 4 + 2^{2} + {(15 - 9)}^{2}}{4 - 1}}

$s = \sqrt{\frac{36 + 4 + 2^{2} + {(15 - 9)}^{2}}{4 - 1}}$

Этап 5.6

Возведем

2

$2$ в степень

2

$2$ .

s = \sqrt{\frac{36 + 4 + 4 + {(15 - 9)}^{2}}{4 - 1}}

$s = \sqrt{\frac{36 + 4 + 4 + {(15 - 9)}^{2}}{4 - 1}}$

Этап 5.7

Вычтем

9

$9$ из

15

$15$ .

s = \sqrt{\frac{36 + 4 + 4 + 6^{2}}{4 - 1}}

$s = \sqrt{\frac{36 + 4 + 4 + 6^{2}}{4 - 1}}$

Этап 5.8

Возведем

6

$6$ в степень

2

$2$ .

s = \sqrt{\frac{36 + 4 + 4 + 36}{4 - 1}}

$s = \sqrt{\frac{36 + 4 + 4 + 36}{4 - 1}}$

Этап 5.9

Добавим

36

$36$ и

4

$4$ .

s = \sqrt{\frac{40 + 4 + 36}{4 - 1}}

$s = \sqrt{\frac{40 + 4 + 36}{4 - 1}}$

Этап 5.10

Добавим

40

$40$ и

4

$4$ .

s = \sqrt{\frac{44 + 36}{4 - 1}}

$s = \sqrt{\frac{44 + 36}{4 - 1}}$

Этап 5.11

Добавим

44

$44$ и

36

$36$ .

s = \sqrt{\frac{80}{4 - 1}}

$s = \sqrt{\frac{80}{4 - 1}}$

Этап 5.12

Вычтем

1

$1$ из

4

$4$ .

s = \sqrt{\frac{80}{3}}

$s = \sqrt{\frac{80}{3}}$

Этап 5.13

Перепишем

\sqrt{\frac{80}{3}}

$\sqrt{\frac{80}{3}}$ в виде

\frac{\sqrt{80}}{\sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{80}}{\sqrt{3}}$ .

s = \frac{\sqrt{80}}{\sqrt{3}}

$s = \frac{\sqrt{80}}{\sqrt{3}}$

Этап 5.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.1

Перепишем

80

$80$ в виде

4^{2} \cdot 5

$4^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.1.1

Вынесем множитель

16

$16$ из

80

$80$ .

s = \frac{\sqrt{16 (5)}}{\sqrt{3}}

$s = \frac{\sqrt{16 (5)}}{\sqrt{3}}$

Этап 5.14.1.2

Перепишем

16

$16$ в виде

4^{2}

$4^{2}$ .

s = \frac{\sqrt{4^{2} \cdot 5}}{\sqrt{3}}

$s = \frac{\sqrt{4^{2} \cdot 5}}{\sqrt{3}}$

s = \frac{\sqrt{4^{2} \cdot 5}}{\sqrt{3}}

$s = \frac{\sqrt{4^{2} \cdot 5}}{\sqrt{3}}$

Этап 5.14.2

Вынесем члены из-под знака корня.

s = \frac{4 \sqrt{5}}{\sqrt{3}}

$s = \frac{4 \sqrt{5}}{\sqrt{3}}$

s = \frac{4 \sqrt{5}}{\sqrt{3}}

$s = \frac{4 \sqrt{5}}{\sqrt{3}}$

Этап 5.15

Умножим

\frac{4 \sqrt{5}}{\sqrt{3}}

$\frac{4 \sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ на

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

s = \frac{4 \sqrt{5}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

$s = \frac{4 \sqrt{5}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 5.16

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.16.1

Умножим

\frac{4 \sqrt{5}}{\sqrt{3}}

$\frac{4 \sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ на

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

s = \frac{4 \sqrt{5} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}

$s = \frac{4 \sqrt{5} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 5.16.2

Возведем

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ в степень

1

$1$ .

s = \frac{4 \sqrt{5} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}

$s = \frac{4 \sqrt{5} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 5.16.3

Возведем

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ в степень

1

$1$ .

s = \frac{4 \sqrt{5} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}

$s = \frac{4 \sqrt{5} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 5.16.4

Применим правило степени

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

s = \frac{4 \sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}

$s = \frac{4 \sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 5.16.5

Добавим

1

$1$ и

1

$1$ .

s = \frac{4 \sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}

$s = \frac{4 \sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 5.16.6

Перепишем

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ в виде

3

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.16.6.1

С помощью

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ в виде

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ .

s = \frac{4 \sqrt{5} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$s = \frac{4 \sqrt{5} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.16.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

s = \frac{4 \sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$s = \frac{4 \sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.16.6.3

Объединим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ и

2

$2$ .

s = \frac{4 \sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}

$s = \frac{4 \sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.16.6.4

Сократим общий множитель

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.16.6.4.1

Сократим общий множитель.

$s = \frac{4 \sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.16.6.4.2

Перепишем это выражение.

$s = \frac{4 \sqrt{5} \sqrt{3}}{3}$

Этап 5.16.6.5

Найдем экспоненту.

$s = \frac{4 \sqrt{5} \sqrt{3}}{3}$

Этап 5.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.17.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$s = \frac{4 \sqrt{3 \cdot 5}}{3}$

Этап 5.17.2

Умножим

$3$ на

$5$ .

$s = \frac{4 \sqrt{15}}{3}$

Этап 6

Стандартное отклонение следует округлить до одного дополнительного знака после запятой по сравнению с исходными данными. Если исходные данные были смешанными, округлим до одного дополнительного знака после запятой по сравнению с наименее точными исходными данными.

$5.2$