Элемент. математика Примеры

$\frac{1}{4 - z} + \frac{3}{4 + z} + \frac{9}{16 - z^{2}} = 0$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{1}{4 - z} + \frac{3}{4 + z} + \frac{9}{4^{2} - z^{2}} = 0$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 4$ и $b = z$ .

$\frac{1}{4 - z} + \frac{3}{4 + z} + \frac{9}{(4 + z) (4 - z)} = 0$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$4 - z, 4 + z, (4 + z) (4 - z), 1$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $4 - z$ является само значение $4 - z$ .

$(4 - z) = 4 - z$

$(4 - z)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $4 + z$ является само значение $4 + z$ .

$(4 + z) = 4 + z$

$(4 + z)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $4 - z$ является само значение $4 - z$ .

$(4 - z) = 4 - z$

$(4 - z)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

НОК $4 - z, 4 + z, 4 + z, 4 - z$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(4 - z) (4 + z)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{1}{4 - z} + \frac{3}{4 + z} + \frac{9}{(4 + z) (4 - z)} = 0$ умножим на $(4 - z) (4 + z)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{4 - z} + \frac{3}{4 + z} + \frac{9}{(4 + z) (4 - z)} = 0$ на $(4 - z) (4 + z)$ .

$\frac{1}{4 - z} ((4 - z) (4 + z)) + \frac{3}{4 + z} ((4 - z) (4 + z)) + \frac{9}{(4 + z) (4 - z)} ((4 - z) (4 + z)) = 0 ((4 - z) (4 + z))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $4 - z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4 - z} ((4 - z) (4 + z)) + \frac{3}{4 + z} ((4 - z) (4 + z)) + \frac{9}{(4 + z) (4 - z)} ((4 - z) (4 + z)) = 0 ((4 - z) (4 + z))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$4 + z + \frac{3}{4 + z} ((4 - z) (4 + z)) + \frac{9}{(4 + z) (4 - z)} ((4 - z) (4 + z)) = 0 ((4 - z) (4 + z))$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель $4 + z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Вынесем множитель $4 + z$ из $(4 - z) (4 + z)$ .

$4 + z + \frac{3}{4 + z} ((4 + z) (4 - z)) + \frac{9}{(4 + z) (4 - z)} ((4 - z) (4 + z)) = 0 ((4 - z) (4 + z))$

Этап 3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$4 + z + \frac{3}{4 + z} ((4 + z) (4 - z)) + \frac{9}{(4 + z) (4 - z)} ((4 - z) (4 + z)) = 0 ((4 - z) (4 + z))$

Этап 3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$4 + z + 3 (4 - z) + \frac{9}{(4 + z) (4 - z)} ((4 - z) (4 + z)) = 0 ((4 - z) (4 + z))$

Этап 3.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 + z + 3 \cdot 4 + 3 (- z) + \frac{9}{(4 + z) (4 - z)} ((4 - z) (4 + z)) = 0 ((4 - z) (4 + z))$

Этап 3.2.1.4

Умножим $3$ на $4$ .

$4 + z + 12 + 3 (- z) + \frac{9}{(4 + z) (4 - z)} ((4 - z) (4 + z)) = 0 ((4 - z) (4 + z))$

Этап 3.2.1.5

Умножим $- 1$ на $3$ .

$4 + z + 12 - 3 z + \frac{9}{(4 + z) (4 - z)} ((4 - z) (4 + z)) = 0 ((4 - z) (4 + z))$

Этап 3.2.1.6

Сократим общий множитель $(4 - z) (4 + z)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.6.1

Вынесем множитель $(4 - z) (4 + z)$ из $(4 + z) (4 - z)$ .

$4 + z + 12 - 3 z + \frac{9}{(4 - z) (4 + z) (1)} ((4 - z) (4 + z)) = 0 ((4 - z) (4 + z))$

Этап 3.2.1.6.2

Сократим общий множитель.

$4 + z + 12 - 3 z + \frac{9}{(4 - z) (4 + z) \cdot 1} ((4 - z) (4 + z)) = 0 ((4 - z) (4 + z))$

Этап 3.2.1.6.3

Перепишем это выражение.

$4 + z + 12 - 3 z + 9 = 0 ((4 - z) (4 + z))$

Этап 3.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Добавим $4$ и $12$ .

$z + 16 - 3 z + 9 = 0 ((4 - z) (4 + z))$

Этап 3.2.2.2

Вычтем $3 z$ из $z$ .

$- 2 z + 16 + 9 = 0 ((4 - z) (4 + z))$

Этап 3.2.2.3

Добавим $16$ и $9$ .

$- 2 z + 25 = 0 ((4 - z) (4 + z))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Развернем $(4 - z) (4 + z)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 z + 25 = 0 (4 (4 + z) - z (4 + z))$

Этап 3.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 z + 25 = 0 (4 \cdot 4 + 4 z - z (4 + z))$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 z + 25 = 0 (4 \cdot 4 + 4 z - z \cdot 4 - z \cdot z)$

Этап 3.3.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Умножим $4$ на $4$ .

$- 2 z + 25 = 0 (16 + 4 z - z \cdot 4 - z \cdot z)$

Этап 3.3.2.1.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 2 z + 25 = 0 (16 + 4 z - 4 z - z \cdot z)$

Этап 3.3.2.1.3

Умножим $z$ на $z$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1

Перенесем $z$ .

$- 2 z + 25 = 0 (16 + 4 z - 4 z - (z \cdot z))$

Этап 3.3.2.1.3.2

Умножим $z$ на $z$ .

$- 2 z + 25 = 0 (16 + 4 z - 4 z - z^{2})$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $4 z$ из $4 z$ .

$- 2 z + 25 = 0 (16 + 0 - z^{2})$

Этап 3.3.2.3

Добавим $16$ и $0$ .

$- 2 z + 25 = 0 (16 - z^{2})$

Этап 3.3.3

Умножим $0$ на $16 - z^{2}$ .

$- 2 z + 25 = 0$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $25$ из обеих частей уравнения.

$- 2 z = - 25$

Этап 4.2

Разделим каждый член $- 2 z = - 25$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $- 2 z = - 25$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 z}{- 2} = \frac{- 25}{- 2}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 z}{- 2} = \frac{- 25}{- 2}$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $z$ на $1$ .

$z = \frac{- 25}{- 2}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$z = \frac{25}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$z = \frac{25}{2}$

Десятичная форма:

$z = 12.5$

Форма смешанных чисел:

$z = 12 \frac{1}{2}$