Элемент. математика Примеры

$(1 - y) ((2 - y) (- 3 - y)) - 24 + 12 y = 0$

Этап 1

Упростим $(1 - y) (2 - y) (- 3 - y) - 24 + 12 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Развернем $(1 - y) (2 - y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(1 (2 - y) - y (2 - y)) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Этап 1.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(1 \cdot 2 + 1 (- y) - y (2 - y)) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Этап 1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(1 \cdot 2 + 1 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Этап 1.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Умножим $2$ на $1$ .

$(2 + 1 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Этап 1.1.2.1.2

Умножим $- y$ на $1$ .

$(2 - y - y \cdot 2 - y (- y)) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Этап 1.1.2.1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(2 - y - 2 y - y (- y)) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Этап 1.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(2 - y - 2 y - 1 \cdot - 1 y \cdot y) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Этап 1.1.2.1.5

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.5.1

Перенесем $y$ .

$(2 - y - 2 y - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Этап 1.1.2.1.5.2

Умножим $y$ на $y$ .

$(2 - y - 2 y - 1 \cdot - 1 y^{2}) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Этап 1.1.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$(2 - y - 2 y + 1 y^{2}) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Этап 1.1.2.1.7

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$(2 - y - 2 y + y^{2}) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Этап 1.1.2.2

Вычтем $2 y$ из $- y$ .

$(2 - 3 y + y^{2}) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Этап 1.1.3

Развернем $(2 - 3 y + y^{2}) (- 3 - y)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$2 \cdot - 3 + 2 (- y) - 3 y \cdot - 3 - 3 y (- y) + y^{2} \cdot - 3 + y^{2} (- y) - 24 + 12 y = 0$

Этап 1.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Умножим $2$ на $- 3$ .

$- 6 + 2 (- y) - 3 y \cdot - 3 - 3 y (- y) + y^{2} \cdot - 3 + y^{2} (- y) - 24 + 12 y = 0$

Этап 1.1.4.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 6 - 2 y - 3 y \cdot - 3 - 3 y (- y) + y^{2} \cdot - 3 + y^{2} (- y) - 24 + 12 y = 0$

Этап 1.1.4.3

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$- 6 - 2 y + 9 y - 3 y (- y) + y^{2} \cdot - 3 + y^{2} (- y) - 24 + 12 y = 0$

Этап 1.1.4.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 6 - 2 y + 9 y - 3 \cdot - 1 y \cdot y + y^{2} \cdot - 3 + y^{2} (- y) - 24 + 12 y = 0$

Этап 1.1.4.5

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.5.1

Перенесем $y$ .

$- 6 - 2 y + 9 y - 3 \cdot - 1 (y \cdot y) + y^{2} \cdot - 3 + y^{2} (- y) - 24 + 12 y = 0$

Этап 1.1.4.5.2

Умножим $y$ на $y$ .

$- 6 - 2 y + 9 y - 3 \cdot - 1 y^{2} + y^{2} \cdot - 3 + y^{2} (- y) - 24 + 12 y = 0$

Этап 1.1.4.6

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$- 6 - 2 y + 9 y + 3 y^{2} + y^{2} \cdot - 3 + y^{2} (- y) - 24 + 12 y = 0$

Этап 1.1.4.7

Перенесем $- 3$ влево от $y^{2}$ .

$- 6 - 2 y + 9 y + 3 y^{2} - 3 \cdot y^{2} + y^{2} (- y) - 24 + 12 y = 0$

Этап 1.1.4.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 6 - 2 y + 9 y + 3 y^{2} - 3 y^{2} - y^{2} y - 24 + 12 y = 0$

Этап 1.1.4.9

Умножим $y^{2}$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.9.1

Перенесем $y$ .

$- 6 - 2 y + 9 y + 3 y^{2} - 3 y^{2} - (y \cdot y^{2}) - 24 + 12 y = 0$

Этап 1.1.4.9.2

Умножим $y$ на $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.9.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$- 6 - 2 y + 9 y + 3 y^{2} - 3 y^{2} - (y^{1} y^{2}) - 24 + 12 y = 0$

Этап 1.1.4.9.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 6 - 2 y + 9 y + 3 y^{2} - 3 y^{2} - y^{1 + 2} - 24 + 12 y = 0$

Этап 1.1.4.9.3

Добавим $1$ и $2$ .

$- 6 - 2 y + 9 y + 3 y^{2} - 3 y^{2} - y^{3} - 24 + 12 y = 0$

Этап 1.1.5

Объединим противоположные члены в $- 6 - 2 y + 9 y + 3 y^{2} - 3 y^{2} - y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Вычтем $3 y^{2}$ из $3 y^{2}$ .

$- 6 - 2 y + 9 y + 0 - y^{3} - 24 + 12 y = 0$

Этап 1.1.5.2

Добавим $- 6 - 2 y + 9 y$ и $0$ .

$- 6 - 2 y + 9 y - y^{3} - 24 + 12 y = 0$

Этап 1.1.6

Добавим $- 2 y$ и $9 y$ .

$- 6 + 7 y - y^{3} - 24 + 12 y = 0$

Этап 1.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $24$ из $- 6$ .

$7 y - y^{3} - 30 + 12 y = 0$

Этап 1.2.2

Добавим $7 y$ и $12 y$ .

$19 y - y^{3} - 30 = 0$

Этап 2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $19 y - y^{3} - 30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Изменим порядок $19 y$ и $- y^{3}$ .

$- y^{3} + 19 y - 30 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- y^{3}$ .

$- (y^{3}) + 19 y - 30 = 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $19 y$ .

$- (y^{3}) - (- 19 y) - 30 = 0$

Этап 2.1.4

Перепишем $- 30$ в виде $- 1 (30)$ .

$- (y^{3}) - (- 19 y) - 1 \cdot 30 = 0$

Этап 2.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y^{3}) - (- 19 y)$ .

$- (y^{3} - 19 y) - 1 \cdot 30 = 0$

Этап 2.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y^{3} - 19 y) - 1 (30)$ .

$- (y^{3} - 19 y + 30) = 0$

Этап 2.2

Разложим $y^{3} - 19 y + 30$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

$q = \pm 1$

Этап 2.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

Этап 2.2.3

Подставим $2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Подставим $2$ в многочлен.

$2^{3} - 19 \cdot 2 + 30$

Этап 2.2.3.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$8 - 19 \cdot 2 + 30$

Этап 2.2.3.3

Умножим $- 19$ на $2$ .

$8 - 38 + 30$

Этап 2.2.3.4

Вычтем $38$ из $8$ .

$- 30 + 30$

Этап 2.2.3.5

Добавим $- 30$ и $30$ .

$0$

Этап 2.2.4

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $y - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{y^{3} - 19 y + 30}{y - 2}$

Этап 2.2.5

Разделим $y^{3} - 19 y + 30$ на $y - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$y$

$2$

$y^{3}$

$0 y^{2}$

$19 y$

$30$

Этап 2.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $y^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $y$ .

					$y^{2}$
	$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$

Этап 2.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$y^{2}$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			+	$y^{3}$	-	$2 y^{2}$

Этап 2.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $y^{3} - 2 y^{2}$ .

				$y^{2}$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$

Этап 2.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$y^{2}$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$

Этап 2.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$y^{2}$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$

Этап 2.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 y^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $y$ .

				$y^{2}$	+	$2 y$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$

Этап 2.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$y^{2}$	+	$2 y$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$
					+	$2 y^{2}$	-	$4 y$

Этап 2.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 y^{2} - 4 y$ .

				$y^{2}$	+	$2 y$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$

Этап 2.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$y^{2}$	+	$2 y$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$15 y$

Этап 2.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$y^{2}$	+	$2 y$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$15 y$	+	$30$

Этап 2.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 15 y$ на член с максимальной степенью в делителе $y$ .

				$y^{2}$	+	$2 y$	-	$15$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$15 y$	+	$30$

Этап 2.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$y^{2}$	+	$2 y$	-	$15$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$15 y$	+	$30$
							-	$15 y$	+	$30$

Этап 2.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 15 y + 30$ .

				$y^{2}$	+	$2 y$	-	$15$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$15 y$	+	$30$
							+	$15 y$	-	$30$

Этап 2.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$y^{2}$	+	$2 y$	-	$15$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$15 y$	+	$30$
							+	$15 y$	-	$30$
										$0$

Этап 2.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$y^{2} + 2 y - 15$

Этап 2.2.6

Запишем $y^{3} - 19 y + 30$ в виде набора множителей.

$- ((y - 2) (y^{2} + 2 y - 15)) = 0$

Этап 2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разложим $y^{2} + 2 y - 15$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Разложим $y^{2} + 2 y - 15$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 15$ , а сумма — $2$ .

$- 3, 5$

Этап 2.3.1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((y - 2) ((y - 3) (y + 5))) = 0$

Этап 2.3.1.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- ((y - 2) (y - 3) (y + 5)) = 0$

Этап 2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (y - 2) (y - 3) (y + 5) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y - 2 = 0$

$y - 3 = 0$

$y + 5 = 0$

Этап 4

Приравняем $y - 2$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $y - 2$ к $0$ .

$y - 2 = 0$

Этап 4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = 2$

Этап 5

Приравняем $y - 3$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $y - 3$ к $0$ .

$y - 3 = 0$

Этап 5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$y = 3$

Этап 6

Приравняем $y + 5$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $y + 5$ к $0$ .

$y + 5 = 0$

Этап 6.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$y = - 5$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (y - 2) (y - 3) (y + 5) = 0$ верно.

$y = 2, 3, - 5$