Элемент. математика Примеры

$y^{- 2} - y^{- 1} - 20 = 0$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} - y^{- 1} - 20 = 0$

Этап 1.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} - \frac{1}{y} - 20 = 0$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y^{2}, y, 1, 1$

Этап 2.2

Since $y^{2}, y, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $y^{2}, y^{1}$ .

Этап 2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.5

НОК $1, 1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.6

Множители $y^{2}$ — $y \cdot y$ , то есть $y$ , умноженный сам на себя $2$ раз.

$y^{2} = y \cdot y$

$y$ встречается $2$ раз.

Этап 2.7

Множителем $y^{1}$ является само значение $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

НОК $y^{2}, y^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$y \cdot y$

Этап 2.9

Умножим $y$ на $y$ .

$y^{2}$

Этап 3

Каждый член в $\frac{1}{y^{2}} - \frac{1}{y} - 20 = 0$ умножим на $y^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{y^{2}} - \frac{1}{y} - 20 = 0$ на $y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} y^{2} - \frac{1}{y} y^{2} - 20 y^{2} = 0 y^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{2}} y^{2} - \frac{1}{y} y^{2} - 20 y^{2} = 0 y^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$1 - \frac{1}{y} y^{2} - 20 y^{2} = 0 y^{2}$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y}$ в числитель.

$1 + \frac{- 1}{y} y^{2} - 20 y^{2} = 0 y^{2}$

Этап 3.2.1.2.2

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$1 + \frac{- 1}{y} (y \cdot y) - 20 y^{2} = 0 y^{2}$

Этап 3.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$1 + \frac{- 1}{y} (y \cdot y) - 20 y^{2} = 0 y^{2}$

Этап 3.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$1 - y - 20 y^{2} = 0 y^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $0$ на $y^{2}$ .

$1 - y - 20 y^{2} = 0$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $1 - y - 20 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1.1

Перенесем $1$ .

$- y - 20 y^{2} + 1 = 0$

Этап 4.1.1.1.2

Изменим порядок $- y$ и $- 20 y^{2}$ .

$- 20 y^{2} - y + 1 = 0$

Этап 4.1.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 20 y^{2}$ .

$- (20 y^{2}) - y + 1 = 0$

Этап 4.1.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$- (20 y^{2}) - (y) + 1 = 0$

Этап 4.1.1.4

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$- (20 y^{2}) - (y) - 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 4.1.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (20 y^{2}) - (y)$ .

$- (20 y^{2} + y) - 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 4.1.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (20 y^{2} + y) - 1 (- 1)$ .

$- (20 y^{2} + y - 1) = 0$

Этап 4.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 20 \cdot - 1 = - 20$ , а сумма — $b = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1.1

Умножим на $1$ .

$- (20 y^{2} + 1 y - 1) = 0$

Этап 4.1.2.1.1.2

Запишем $1$ как $- 4$ плюс $5$

$- (20 y^{2} + (- 4 + 5) y - 1) = 0$

Этап 4.1.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (20 y^{2} - 4 y + 5 y - 1) = 0$

Этап 4.1.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- ((20 y^{2} - 4 y) + 5 y - 1) = 0$

Этап 4.1.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- (4 y (5 y - 1) + 1 (5 y - 1)) = 0$

Этап 4.1.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $5 y - 1$ .

$- ((5 y - 1) (4 y + 1)) = 0$

Этап 4.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (5 y - 1) (4 y + 1) = 0$

Этап 4.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$5 y - 1 = 0$

$4 y + 1 = 0$

Этап 4.3

Приравняем $5 y - 1$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Приравняем $5 y - 1$ к $0$ .

$5 y - 1 = 0$

Этап 4.3.2

Решим $5 y - 1 = 0$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$5 y = 1$

Этап 4.3.2.2

Разделим каждый член $5 y = 1$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Разделим каждый член $5 y = 1$ на $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{1}{5}$

Этап 4.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 y}{5} = \frac{1}{5}$

Этап 4.3.2.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{1}{5}$

Этап 4.4

Приравняем $4 y + 1$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Приравняем $4 y + 1$ к $0$ .

$4 y + 1 = 0$

Этап 4.4.2

Решим $4 y + 1 = 0$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$4 y = - 1$

Этап 4.4.2.2

Разделим каждый член $4 y = - 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.1

Разделим каждый член $4 y = - 1$ на $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{- 1}{4}$

Этап 4.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y}{4} = \frac{- 1}{4}$

Этап 4.4.2.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 1}{4}$

Этап 4.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{1}{4}$

Этап 4.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (5 y - 1) (4 y + 1) = 0$ верно.

$y = \frac{1}{5}, - \frac{1}{4}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$y = \frac{1}{5}, - \frac{1}{4}$

Десятичная форма:

$y = 0.2, - 0.25$