Элемент. математика Примеры

$\sin (\frac{π}{2} + θ) = - \tan (θ)$

Этап 1

Используем формулу синуса суммы, чтобы упростить выражение. Формула имеет вид: $\sin (A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)$ .

$\sin (\frac{π}{2}) \cos (θ) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (θ) = - \tan (θ)$

Этап 2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\sin (\frac{π}{2}) \cos (θ) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$1 \cos (θ) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (θ) = - \tan (θ)$

Этап 2.1.1.2

Умножим $\cos (θ)$ на $1$ .

$\cos (θ) + \cos (\frac{π}{2}) \sin (θ) = - \tan (θ)$

Этап 2.1.1.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$\cos (θ) + 0 \sin (θ) = - \tan (θ)$

Этап 2.1.1.4

Умножим $0$ на $\sin (θ)$ .

$\cos (θ) + 0 = - \tan (θ)$

Этап 2.1.2

Добавим $\cos (θ)$ и $0$ .

$\cos (θ) = - \tan (θ)$

Этап 3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Выразим $\tan (θ)$ через синусы и косинусы.

$\cos (θ) = - \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Этап 4

Умножим обе части уравнения на $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) \cos (θ) = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

Этап 5

Умножим $\cos (θ) \cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возведем $\cos (θ)$ в степень $1$ .

$\cos^{1} (θ) \cos (θ) = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

Этап 5.2

Возведем $\cos (θ)$ в степень $1$ .

$\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

Этап 5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\cos (θ)}^{1 + 1} = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

Этап 5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos^{2} (θ) = \cos (θ) (- \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})$

Этап 6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\cos^{2} (θ) = - \cos (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Этап 7

Сократим общий множитель $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $\cos (θ)$ из $- \cos (θ)$ .

$\cos^{2} (θ) = \cos (θ) \cdot - 1 \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Этап 7.2

Сократим общий множитель.

$\cos^{2} (θ) = \cos (θ) \cdot - 1 \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Этап 7.3

Перепишем это выражение.

$\cos^{2} (θ) = - \sin (θ)$

Этап 8

Добавим $\sin (θ)$ к обеим частям уравнения.

$\cos^{2} (θ) + \sin (θ) = 0$

Этап 9

Заменим $\cos^{2} (θ)$ на $1 - \sin^{2} (θ)$ .

$(1 - \sin^{2} (θ)) + \sin (θ) = 0$

Этап 10

Решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Подставим $u$ вместо $\sin (θ)$ .

$1 - {(u)}^{2} + u = 0$

Этап 10.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 10.3

Подставим значения $a = - 1$ , $b = 1$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 1)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 10.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Этап 10.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

Этап 10.4.1.2.2

Умножим $4$ на $1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot - 1}$

Этап 10.4.1.3

Добавим $1$ и $4$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

Этап 10.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$

Этап 10.4.3

Упростим $\frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Этап 10.5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Этап 10.6

Подставим $\sin (θ)$ вместо $u$ .

$\sin (θ) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Этап 10.7

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $θ$ .

$\sin (θ) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$\sin (θ) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Этап 10.8

Решим относительно $θ$ в $\sin (θ) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.8.1

Множество значений синуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 10.9

Решим относительно $θ$ в $\sin (θ) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.9.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из синуса.

$θ = \arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})$

Этап 10.9.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.9.2.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})$ .

$θ = - 0.66623943$

Этап 10.9.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$θ = (3.14159265) + 0.66623943$

Этап 10.9.4

Решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.9.4.1

Избавимся от скобок.

$θ = 3.14159265 + 0.66623943$

Этап 10.9.4.2

Избавимся от скобок.

$θ = (3.14159265) + 0.66623943$

Этап 10.9.4.3

Добавим $3.14159265$ и $0.66623943$ .

$θ = 3.80783208$

Этап 10.9.5

Найдем период $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.9.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 10.9.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 10.9.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 10.9.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 10.9.6

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.9.6.1

Добавим $2 π$ к $- 0.66623943$ , чтобы найти положительный угол.

$- 0.66623943 + 2 π$

Этап 10.9.6.2

Вычтем $0.66623943$ из $2 π$ .

$5.61694587$

Этап 10.9.6.3

Перечислим новые углы.

$θ = 5.61694587$

Этап 10.9.7

Период функции $\sin (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = 3.80783208 + 2 π n, 5.61694587 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 10.10

Перечислим все решения.

$θ = 3.80783208 + 2 π n, 5.61694587 + 2 π n$ , для любого целого $n$