Введите задачу...
Алгебра Примеры
Этап 1
Этап 1.1
С помощью запишем в виде .
Этап 1.2
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 1.3
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 1.3.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 1.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.3.3
Заменим все вхождения на .
Этап 1.4
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 1.5
Объединим и .
Этап 1.6
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 1.7
Упростим числитель.
Этап 1.7.1
Умножим на .
Этап 1.7.2
Вычтем из .
Этап 1.8
Объединим дроби.
Этап 1.8.1
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 1.8.2
Объединим и .
Этап 1.8.3
Перенесем в знаменатель, используя правило отрицательных степеней .
Этап 1.8.4
Объединим и .
Этап 1.9
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.10
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.11
Добавим и .
Этап 1.12
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.13
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.14
Объединим дроби.
Этап 1.14.1
Умножим на .
Этап 1.14.2
Объединим и .
Этап 1.14.3
Упростим выражение.
Этап 1.14.3.1
Перенесем влево от .
Этап 1.14.3.2
Перепишем в виде .
Этап 1.14.3.3
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 1.15
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.16
Умножим на .
Этап 1.17
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 1.18
Объединим и .
Этап 1.19
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 1.20
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 1.20.1
Перенесем .
Этап 1.20.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 1.20.3
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 1.20.4
Добавим и .
Этап 1.20.5
Разделим на .
Этап 1.21
Упростим .
Этап 1.22
Перенесем влево от .
Этап 1.23
Упростим.
Этап 1.23.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.23.2
Упростим числитель.
Этап 1.23.2.1
Упростим каждый член.
Этап 1.23.2.1.1
Умножим на .
Этап 1.23.2.1.2
Умножим на .
Этап 1.23.2.2
Вычтем из .
Этап 1.23.3
Вынесем множитель из .
Этап 1.23.4
Перепишем в виде .
Этап 1.23.5
Вынесем множитель из .
Этап 1.23.6
Перепишем в виде .
Этап 1.23.7
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 2
Этап 2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.2
Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.3
Перемножим экспоненты в .
Этап 2.3.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 2.3.2
Сократим общий множитель .
Этап 2.3.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 2.3.2.2
Перепишем это выражение.
Этап 2.4
Упростим.
Этап 2.5
Продифференцируем.
Этап 2.5.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.5.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.5.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.5.4
Умножим на .
Этап 2.5.5
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 2.5.6
Упростим выражение.
Этап 2.5.6.1
Добавим и .
Этап 2.5.6.2
Перенесем влево от .
Этап 2.6
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.6.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 2.6.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.6.3
Заменим все вхождения на .
Этап 2.7
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 2.8
Объединим и .
Этап 2.9
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 2.10
Упростим числитель.
Этап 2.10.1
Умножим на .
Этап 2.10.2
Вычтем из .
Этап 2.11
Объединим дроби.
Этап 2.11.1
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 2.11.2
Объединим и .
Этап 2.11.3
Перенесем в знаменатель, используя правило отрицательных степеней .
Этап 2.12
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.13
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 2.14
Добавим и .
Этап 2.15
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.16
Умножим.
Этап 2.16.1
Умножим на .
Этап 2.16.2
Умножим на .
Этап 2.17
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.18
Объединим дроби.
Этап 2.18.1
Умножим на .
Этап 2.18.2
Умножим на .
Этап 2.18.3
Перенесем влево от .
Этап 2.19
Упростим.
Этап 2.19.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.19.2
Упростим числитель.
Этап 2.19.2.1
Пусть . Подставим вместо для всех.
Этап 2.19.2.1.1
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 2.19.2.1.2
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 2.19.2.1.2.1
Перенесем .
Этап 2.19.2.1.2.2
Умножим на .
Этап 2.19.2.1.3
Умножим на .
Этап 2.19.2.2
Заменим все вхождения на .
Этап 2.19.2.3
Упростим.
Этап 2.19.2.3.1
Упростим каждый член.
Этап 2.19.2.3.1.1
Перемножим экспоненты в .
Этап 2.19.2.3.1.1.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 2.19.2.3.1.1.2
Сократим общий множитель .
Этап 2.19.2.3.1.1.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 2.19.2.3.1.1.2.2
Перепишем это выражение.
Этап 2.19.2.3.1.2
Упростим.
Этап 2.19.2.3.1.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.19.2.3.1.4
Умножим на .
Этап 2.19.2.3.1.5
Умножим на .
Этап 2.19.2.3.2
Вычтем из .
Этап 2.19.2.3.3
Добавим и .
Этап 2.19.3
Объединим термины.
Этап 2.19.3.1
Умножим на .
Этап 2.19.3.2
Умножим на .
Этап 2.19.3.3
Перепишем в виде произведения.
Этап 2.19.3.4
Умножим на .
Этап 2.19.4
Упростим знаменатель.
Этап 2.19.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.19.4.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.19.4.1.2
Вынесем множитель из .
Этап 2.19.4.1.3
Вынесем множитель из .
Этап 2.19.4.2
Объединим показатели степеней.
Этап 2.19.4.2.1
Умножим на .
Этап 2.19.4.2.2
Возведем в степень .
Этап 2.19.4.2.3
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 2.19.4.2.4
Запишем в виде дроби с общим знаменателем.
Этап 2.19.4.2.5
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 2.19.4.2.6
Добавим и .
Этап 2.19.5
Вынесем множитель из .
Этап 2.19.6
Перепишем в виде .
Этап 2.19.7
Вынесем множитель из .
Этап 2.19.8
Перепишем в виде .
Этап 2.19.9
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 2.19.10
Умножим на .
Этап 2.19.11
Умножим на .
Этап 3
Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к и решим полученное уравнение.
Этап 4
Этап 4.1
Найдем первую производную.
Этап 4.1.1
С помощью запишем в виде .
Этап 4.1.2
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 4.1.3
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 4.1.3.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 4.1.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.1.3.3
Заменим все вхождения на .
Этап 4.1.4
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 4.1.5
Объединим и .
Этап 4.1.6
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 4.1.7
Упростим числитель.
Этап 4.1.7.1
Умножим на .
Этап 4.1.7.2
Вычтем из .
Этап 4.1.8
Объединим дроби.
Этап 4.1.8.1
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 4.1.8.2
Объединим и .
Этап 4.1.8.3
Перенесем в знаменатель, используя правило отрицательных степеней .
Этап 4.1.8.4
Объединим и .
Этап 4.1.9
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 4.1.10
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 4.1.11
Добавим и .
Этап 4.1.12
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 4.1.13
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.1.14
Объединим дроби.
Этап 4.1.14.1
Умножим на .
Этап 4.1.14.2
Объединим и .
Этап 4.1.14.3
Упростим выражение.
Этап 4.1.14.3.1
Перенесем влево от .
Этап 4.1.14.3.2
Перепишем в виде .
Этап 4.1.14.3.3
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 4.1.15
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.1.16
Умножим на .
Этап 4.1.17
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 4.1.18
Объединим и .
Этап 4.1.19
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 4.1.20
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 4.1.20.1
Перенесем .
Этап 4.1.20.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 4.1.20.3
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 4.1.20.4
Добавим и .
Этап 4.1.20.5
Разделим на .
Этап 4.1.21
Упростим .
Этап 4.1.22
Перенесем влево от .
Этап 4.1.23
Упростим.
Этап 4.1.23.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 4.1.23.2
Упростим числитель.
Этап 4.1.23.2.1
Упростим каждый член.
Этап 4.1.23.2.1.1
Умножим на .
Этап 4.1.23.2.1.2
Умножим на .
Этап 4.1.23.2.2
Вычтем из .
Этап 4.1.23.3
Вынесем множитель из .
Этап 4.1.23.4
Перепишем в виде .
Этап 4.1.23.5
Вынесем множитель из .
Этап 4.1.23.6
Перепишем в виде .
Этап 4.1.23.7
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 4.2
Первая производная по равна .
Этап 5
Этап 5.1
Пусть первая производная равна .
Этап 5.2
Приравняем числитель к нулю.
Этап 5.3
Решим уравнение относительно .
Этап 5.3.1
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 5.3.2
Разделим каждый член на и упростим.
Этап 5.3.2.1
Разделим каждый член на .
Этап 5.3.2.2
Упростим левую часть.
Этап 5.3.2.2.1
Сократим общий множитель .
Этап 5.3.2.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 5.3.2.2.1.2
Разделим на .
Этап 6
Этап 6.1
Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.
Этап 6.1.1
Применим правило , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.
Этап 6.1.2
Любое число, возведенное в степень , является основанием.
Этап 6.2
Зададим знаменатель в равным , чтобы узнать, где данное выражение не определено.
Этап 6.3
Решим относительно .
Этап 6.3.1
Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.
Этап 6.3.2
Упростим каждую часть уравнения.
Этап 6.3.2.1
С помощью запишем в виде .
Этап 6.3.2.2
Упростим левую часть.
Этап 6.3.2.2.1
Упростим .
Этап 6.3.2.2.1.1
Применим правило умножения к .
Этап 6.3.2.2.1.2
Возведем в степень .
Этап 6.3.2.2.1.3
Перемножим экспоненты в .
Этап 6.3.2.2.1.3.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 6.3.2.2.1.3.2
Сократим общий множитель .
Этап 6.3.2.2.1.3.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 6.3.2.2.1.3.2.2
Перепишем это выражение.
Этап 6.3.2.2.1.4
Упростим.
Этап 6.3.2.2.1.5
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 6.3.2.2.1.6
Умножим.
Этап 6.3.2.2.1.6.1
Умножим на .
Этап 6.3.2.2.1.6.2
Умножим на .
Этап 6.3.2.3
Упростим правую часть.
Этап 6.3.2.3.1
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 6.3.3
Решим относительно .
Этап 6.3.3.1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 6.3.3.2
Разделим каждый член на и упростим.
Этап 6.3.3.2.1
Разделим каждый член на .
Этап 6.3.3.2.2
Упростим левую часть.
Этап 6.3.3.2.2.1
Сократим общий множитель .
Этап 6.3.3.2.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 6.3.3.2.2.1.2
Разделим на .
Этап 6.3.3.2.3
Упростим правую часть.
Этап 6.3.3.2.3.1
Разделим на .
Этап 6.4
Зададим подкоренное выражение в меньшим , чтобы узнать, где данное выражение не определено.
Этап 6.5
Решим относительно .
Этап 6.5.1
Вычтем из обеих частей неравенства.
Этап 6.5.2
Разделим каждый член на и упростим.
Этап 6.5.2.1
Разделим каждый член на . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.
Этап 6.5.2.2
Упростим левую часть.
Этап 6.5.2.2.1
Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.
Этап 6.5.2.2.2
Разделим на .
Этап 6.5.2.3
Упростим правую часть.
Этап 6.5.2.3.1
Разделим на .
Этап 6.6
Уравнение не определено, если знаменатель равен , аргумент под знаком квадратного корня меньше или аргумент под знаком логарифма меньше или равен .
Этап 7
Критические точки, которые необходимо вычислить.
Этап 8
Найдем вторую производную в . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.
Этап 9
Этап 9.1
Упростим числитель.
Этап 9.1.1
Сократим общий множитель .
Этап 9.1.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 9.1.1.2
Перепишем это выражение.
Этап 9.1.2
Вычтем из .
Этап 9.2
Упростим знаменатель.
Этап 9.2.1
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 9.2.2
Объединим и .
Этап 9.2.3
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 9.2.4
Упростим числитель.
Этап 9.2.4.1
Умножим на .
Этап 9.2.4.2
Вычтем из .
Этап 9.2.5
Применим правило умножения к .
Этап 9.3
Объединим и .
Этап 9.4
Упростим числитель.
Этап 9.4.1
Перепишем в виде .
Этап 9.4.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 9.4.3
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 9.4.4
Объединим и .
Этап 9.4.5
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 9.4.6
Упростим числитель.
Этап 9.4.6.1
Умножим на .
Этап 9.4.6.2
Добавим и .
Этап 9.5
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 9.6
Объединим и .
Этап 9.7
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 10
— локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.
— локальный максимум
Этап 11
Этап 11.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 11.2
Упростим результат.
Этап 11.2.1
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 11.2.2
Объединим и .
Этап 11.2.3
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 11.2.4
Упростим числитель.
Этап 11.2.4.1
Умножим на .
Этап 11.2.4.2
Вычтем из .
Этап 11.2.5
Перепишем в виде .
Этап 11.2.6
Умножим на .
Этап 11.2.7
Объединим и упростим знаменатель.
Этап 11.2.7.1
Умножим на .
Этап 11.2.7.2
Возведем в степень .
Этап 11.2.7.3
Возведем в степень .
Этап 11.2.7.4
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 11.2.7.5
Добавим и .
Этап 11.2.7.6
Перепишем в виде .
Этап 11.2.7.6.1
С помощью запишем в виде .
Этап 11.2.7.6.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 11.2.7.6.3
Объединим и .
Этап 11.2.7.6.4
Сократим общий множитель .
Этап 11.2.7.6.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 11.2.7.6.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 11.2.7.6.5
Найдем экспоненту.
Этап 11.2.8
Упростим числитель.
Этап 11.2.8.1
Объединим, используя правило умножения для радикалов.
Этап 11.2.8.2
Умножим на .
Этап 11.2.9
Умножим .
Этап 11.2.9.1
Умножим на .
Этап 11.2.9.2
Умножим на .
Этап 11.2.10
Окончательный ответ: .
Этап 12
Найдем вторую производную в . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.
Этап 13
Этап 13.1
Упростим выражение.
Этап 13.1.1
Умножим на .
Этап 13.1.2
Вычтем из .
Этап 13.1.3
Перепишем в виде .
Этап 13.1.4
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 13.2
Сократим общий множитель .
Этап 13.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 13.2.2
Перепишем это выражение.
Этап 13.3
Упростим выражение.
Этап 13.3.1
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 13.3.2
Умножим на .
Этап 13.3.3
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 13.4
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Неопределенные
Этап 14
Так как первая производная не изменила знак, локальные экстремумы отсутствуют.
Нет локальных экстремумов
Этап 15