Алгебра Примеры

${(a + b)}^{5}$

Этап 1

Треугольник Паскаля можно представить в следующем виде:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

Данный треугольник можно использовать для вычисления коэффициентов разложения ${(a + b)}^{n}$ , беря степень $n$ и добавляя $1$ . Коэффициенты соответствуют строке $n + 1$ треугольника Паскаля. Для ${(a + b)}^{5}$ $n = 5$ , поэтому коэффициенты разложения соответствуют строке $6$ .

Этап 2

Разложение соответствует правилу ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Значения коэффициентов, определяемые треугольником Паскаля: $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ .

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

Этап 3

Подставим известные значения $a$ $a$ и $b$ $b$ в выражение.

$1 {(a)}^{5} {(b)}^{0} + 5 {(a)}^{4} {(b)}^{1} + 10 {(a)}^{3} {(b)}^{2} + 10 {(a)}^{2} {(b)}^{3} + 5 {(a)}^{1} {(b)}^{4} + 1 {(a)}^{0} {(b)}^{5}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим ${(a)}^{5}$ на $1$ .

${(a)}^{5} {(b)}^{0} + 5 {(a)}^{4} {(b)}^{1} + 10 {(a)}^{3} {(b)}^{2} + 10 {(a)}^{2} {(b)}^{3} + 5 {(a)}^{1} {(b)}^{4} + 1 {(a)}^{0} {(b)}^{5}$

Этап 4.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a^{5} \cdot 1 + 5 {(a)}^{4} {(b)}^{1} + 10 {(a)}^{3} {(b)}^{2} + 10 {(a)}^{2} {(b)}^{3} + 5 {(a)}^{1} {(b)}^{4} + 1 {(a)}^{0} {(b)}^{5}$

Этап 4.3

Умножим $a^{5}$ на $1$ .

$a^{5} + 5 {(a)}^{4} {(b)}^{1} + 10 {(a)}^{3} {(b)}^{2} + 10 {(a)}^{2} {(b)}^{3} + 5 {(a)}^{1} {(b)}^{4} + 1 {(a)}^{0} {(b)}^{5}$

Этап 4.4

Упростим.

$a^{5} + 5 a^{4} b + 10 {(a)}^{3} {(b)}^{2} + 10 {(a)}^{2} {(b)}^{3} + 5 {(a)}^{1} {(b)}^{4} + 1 {(a)}^{0} {(b)}^{5}$

Этап 4.5

Упростим.

$a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a {(b)}^{4} + 1 {(a)}^{0} {(b)}^{5}$

Этап 4.6

Умножим ${(a)}^{0}$ на $1$ .

$a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + {(a)}^{0} {(b)}^{5}$

Этап 4.7

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 {(b)}^{5}$

Этап 4.8

Умножим ${(b)}^{5}$ на $1$ .

$a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + b^{5}$