Алгебра Примеры

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27}$

Этап 1

Это геометрическая прогрессия, так как между соседними членами существует общий знаменатель. В данном случае умножение предыдущего члена прогрессии на $\frac{1}{3}$ дает следующий член. Другими словами, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Геометрическая прогрессия: $r = \frac{1}{3}$

Этап 2

Это формула геометрической прогрессии.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Этап 3

Подставим в значения $a_{1} = 1$ и $r = \frac{1}{3}$ .

$a_{n} = 1 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Этап 4

Умножим ${(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ на $1$ .

$a_{n} = {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Этап 5

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$a_{n} = \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Этап 6

Единица в любой степени равна единице.

$a_{n} = \frac{1}{3^{n - 1}}$

Этап 7

Это формула для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии. Для ее вычисления найдем значения $r$ и $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Этап 8

Заменим переменные известными величинами, чтобы найти $S_{4}$ .

$S_{4} = 1 \cdot \frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 9

Умножим $\frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$ на $1$ .

$S_{4} = \frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 10

Умножим числитель и знаменатель дроби на $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $\frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$S_{4} = \frac{3}{3} \cdot \frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 10.2

Объединим.

$S_{4} = \frac{3 ({(\frac{1}{3})}^{4} - 1)}{3 (\frac{1}{3} - 1)}$

Этап 11

Применим свойство дистрибутивности.

$S_{4} = \frac{3 {(\frac{1}{3})}^{4} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

Этап 12

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Сократим общий множитель.

$S_{4} = \frac{3 {(\frac{1}{3})}^{4} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

Этап 12.2

Перепишем это выражение.

$S_{4} = \frac{3 {(\frac{1}{3})}^{4} + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Этап 13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$S_{4} = \frac{3 (\frac{1^{4}}{3^{4}}) + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Этап 13.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3^{4}$ .

$S_{4} = \frac{3 (\frac{1^{4}}{3 \cdot 3^{3}}) + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Этап 13.2.2

Сократим общий множитель.

$S_{4} = \frac{3 (\frac{1^{4}}{3 \cdot 3^{3}}) + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Этап 13.2.3

Перепишем это выражение.

$S_{4} = \frac{\frac{1^{4}}{3^{3}} + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Этап 13.3

Единица в любой степени равна единице.

$S_{4} = \frac{\frac{1}{3^{3}} + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Этап 13.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1}{27} + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Этап 13.5

Умножим $3$ на $- 1$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1}{27} - 3}{1 + 3 \cdot - 1}$

Этап 13.6

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{27}{27}$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1}{27} - 3 \cdot \frac{27}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

Этап 13.7

Объединим $- 3$ и $\frac{27}{27}$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1}{27} + \frac{- 3 \cdot 27}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

Этап 13.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$S_{4} = \frac{\frac{1 - 3 \cdot 27}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

Этап 13.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.9.1

Умножим $- 3$ на $27$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1 - 81}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

Этап 13.9.2

Вычтем $81$ из $1$ .

$S_{4} = \frac{\frac{- 80}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

Этап 13.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$S_{4} = \frac{- \frac{80}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

Этап 14

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$S_{4} = \frac{- \frac{80}{27}}{1 - 3}$

Этап 14.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$S_{4} = \frac{- \frac{80}{27}}{- 2}$

Этап 15

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$S_{4} = - \frac{80}{27} \cdot \frac{1}{- 2}$

Этап 16

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{80}{27}$ в числитель.

$S_{4} = \frac{- 80}{27} \cdot \frac{1}{- 2}$

Этап 16.2

Вынесем множитель $2$ из $- 80$ .

$S_{4} = \frac{2 (- 40)}{27} \cdot \frac{1}{- 2}$

Этап 16.3

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$S_{4} = \frac{2 \cdot - 40}{27} \cdot \frac{1}{2 \cdot - 1}$

Этап 16.4

Сократим общий множитель.

$S_{4} = \frac{2 \cdot - 40}{27} \cdot \frac{1}{2 \cdot - 1}$

Этап 16.5

Перепишем это выражение.

$S_{4} = \frac{- 40}{27} \cdot \frac{1}{- 1}$

Этап 17

Умножим $\frac{- 40}{27}$ на $\frac{1}{- 1}$ .

$S_{4} = \frac{- 40}{27 \cdot - 1}$

Этап 18

Умножим $27$ на $- 1$ .

$S_{4} = \frac{- 40}{- 27}$

Этап 19

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$S_{4} = \frac{40}{27}$