Алгебра Примеры

$\frac{2 x}{x - 5}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{2 y}{y - 5}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим уравнение на $y - 5$ .

$(y - 5) (x) = (\frac{2 y}{y - 5}) (y - 5)$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y x - 5 x = (\frac{2 y}{y - 5}) (y - 5)$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $y - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y x - 5 x = \frac{2 y}{y - 5} (y - 5)$

Этап 2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y x - 5 x = 2 y$

Этап 2.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вычтем $2 y$ из обеих частей уравнения.

$y x - 5 x - 2 y = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $5 x$ к обеим частям уравнения.

$y x - 2 y = 5 x$

Этап 2.4.3

Вынесем множитель $y$ из $y x - 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y x$ .

$y (x) - 2 y = 5 x$

Этап 2.4.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- 2 y$ .

$y (x) + y \cdot - 2 = 5 x$

Этап 2.4.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y (x) + y \cdot - 2$ .

$y (x - 2) = 5 x$

Этап 2.4.4

Разделим каждый член $y (x - 2) = 5 x$ на $x - 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Разделим каждый член $y (x - 2) = 5 x$ на $x - 2$ .

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{5 x}{x - 2}$

Этап 2.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.2.1

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{5 x}{x - 2}$

Этап 2.4.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{5 x}{x - 2}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{x - 2}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{x - 2}$ обратной к $f (x) = \frac{2 x}{x - 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{5 (\frac{2 x}{x - 5})}{(\frac{2 x}{x - 5}) - 2}$

Этап 4.2.3

Объединим $5$ и $\frac{2 x}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 (2 x)}{x - 5}}{\frac{2 x}{x - 5} - 2}$

Этап 4.2.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 (2 x)}{x - 5}}{\frac{2 x}{x - 5} - 2 \cdot \frac{x - 5}{x - 5}}$

Этап 4.2.4.2

Объединим $- 2$ и $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 (2 x)}{x - 5}}{\frac{2 x}{x - 5} + \frac{- 2 (x - 5)}{x - 5}}$

Этап 4.2.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 (2 x)}{x - 5}}{\frac{2 x - 2 (x - 5)}{x - 5}}$

Этап 4.2.4.4

Перепишем $\frac{2 x - 2 (x - 5)}{x - 5}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x - 2 (x - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 (2 x)}{x - 5}}{\frac{2 (x) - 2 (x - 5)}{x - 5}}$

Этап 4.2.4.4.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 (x - 5)$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 (2 x)}{x - 5}}{\frac{2 (x) + 2 (- (x - 5))}{x - 5}}$

Этап 4.2.4.4.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x) + 2 (- (x - 5))$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 (2 x)}{x - 5}}{\frac{2 (x - (x - 5))}{x - 5}}$

Этап 4.2.4.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 (2 x)}{x - 5}}{\frac{2 (x - x + 5)}{x - 5}}$

Этап 4.2.4.4.3

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 (2 x)}{x - 5}}{\frac{2 (x - x + 5)}{x - 5}}$

Этап 4.2.4.4.4

Вычтем $x$ из $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 (2 x)}{x - 5}}{\frac{2 (0 + 5)}{x - 5}}$

Этап 4.2.4.4.5

Добавим $0$ и $5$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 (2 x)}{x - 5}}{\frac{2 \cdot 5}{x - 5}}$

Этап 4.2.4.5

Умножим $2$ на $5$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 (2 x)}{x - 5}}{\frac{10}{x - 5}}$

Этап 4.2.5

Умножим $5$ на $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{\frac{10 x}{x - 5}}{\frac{10}{x - 5}}$

Этап 4.2.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{10 x}{x - 5} \cdot \frac{x - 5}{10}$

Этап 4.2.7

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Вынесем множитель $10$ из $10 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{10 (x)}{x - 5} \cdot \frac{x - 5}{10}$

Этап 4.2.7.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{10 x}{x - 5} \cdot \frac{x - 5}{10}$

Этап 4.2.7.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{x}{x - 5} \cdot (x - 5)$

Этап 4.2.8

Сократим общий множитель $x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{x}{x - 5} \cdot (x - 5)$

Этап 4.2.8.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{5 x}{x - 2})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{2 (\frac{5 x}{x - 2})}{(\frac{5 x}{x - 2}) - 5}$

Этап 4.3.3

Объединим $2$ и $\frac{5 x}{x - 2}$ .

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (5 x)}{x - 2}}{\frac{5 x}{x - 2} - 5}$

Этап 4.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Чтобы записать $- 5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (5 x)}{x - 2}}{\frac{5 x}{x - 2} - 5 \cdot \frac{x - 2}{x - 2}}$

Этап 4.3.4.2

Объединим $- 5$ и $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (5 x)}{x - 2}}{\frac{5 x}{x - 2} + \frac{- 5 (x - 2)}{x - 2}}$

Этап 4.3.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (5 x)}{x - 2}}{\frac{5 x - 5 (x - 2)}{x - 2}}$

Этап 4.3.4.4

Перепишем $\frac{5 x - 5 (x - 2)}{x - 2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.4.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x - 5 (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.4.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (5 x)}{x - 2}}{\frac{5 (x) - 5 (x - 2)}{x - 2}}$

Этап 4.3.4.4.1.2

Вынесем множитель $5$ из $- 5 (x - 2)$ .

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (5 x)}{x - 2}}{\frac{5 (x) + 5 (- (x - 2))}{x - 2}}$

Этап 4.3.4.4.1.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (x) + 5 (- (x - 2))$ .

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (5 x)}{x - 2}}{\frac{5 (x - (x - 2))}{x - 2}}$

Этап 4.3.4.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (5 x)}{x - 2}}{\frac{5 (x - x + 2)}{x - 2}}$

Этап 4.3.4.4.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (5 x)}{x - 2}}{\frac{5 (x - x + 2)}{x - 2}}$

Этап 4.3.4.4.4

Вычтем $x$ из $x$ .

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (5 x)}{x - 2}}{\frac{5 (0 + 2)}{x - 2}}$

Этап 4.3.4.4.5

Добавим $0$ и $2$ .

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (5 x)}{x - 2}}{\frac{5 \cdot 2}{x - 2}}$

Этап 4.3.4.5

Умножим $5$ на $2$ .

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (5 x)}{x - 2}}{\frac{10}{x - 2}}$

Этап 4.3.5

Умножим $2$ на $5$ .

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{\frac{10 x}{x - 2}}{\frac{10}{x - 2}}$

Этап 4.3.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{10 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{10}$

Этап 4.3.7

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Вынесем множитель $10$ из $10 x$ .

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{10 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{10}$

Этап 4.3.7.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{10 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{10}$

Этап 4.3.7.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Этап 4.3.8

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Этап 4.3.8.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{x - 2}$ — обратная к $f (x) = \frac{2 x}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{x - 2}$