Алгебра Примеры

$f (x) = 2 x^{3} - 5$

Этап 1

Запишем $f (x) = 2 x^{3} - 5$ в виде уравнения.

$y = 2 x^{3} - 5$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 2 y^{3} - 5$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $2 y^{3} - 5 = x$ .

$2 y^{3} - 5 = x$

Этап 3.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$2 y^{3} = x + 5$

Этап 3.3

Разделим каждый член $2 y^{3} = x + 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $2 y^{3} = x + 5$ на $2$ .

$\frac{2 y^{3}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y^{3}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $y^{3}$ на $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$

Этап 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{2} + \frac{5}{2}}$

Этап 3.5

Упростим $\sqrt[3]{\frac{x}{2} + \frac{5}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \sqrt[3]{\frac{x + 5}{2}}$

Этап 3.5.2

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{x + 5}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5}}{\sqrt[3]{2}}$

Этап 3.5.3

Умножим $\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{\sqrt[3]{2}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Этап 3.5.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{\sqrt[3]{2}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Этап 3.5.4.2

Возведем $\sqrt[3]{2}$ в степень $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Этап 3.5.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Этап 3.5.4.4

Добавим $1$ и $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Этап 3.5.4.5

Перепишем ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{2}$ в виде $2^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 3.5.4.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 3.5.4.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.5.4.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.5.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.5.4.5.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Этап 3.5.4.5.5

Найдем экспоненту.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Этап 3.5.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.1

Перепишем ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Этап 3.5.5.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} \sqrt[3]{4}}{2}$

Этап 3.5.6

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.6.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x + 5) \cdot 4}}{2}$

Этап 3.5.6.2

Изменим порядок множителей в $\frac{\sqrt[3]{(x + 5) \cdot 4}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}$ обратной к $f (x) = 2 x^{3} - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (2 x^{3} - 5)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{4 ((2 x^{3} - 5) + 5)}}{2}$

Этап 5.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Добавим $- 5$ и $5$ .

$f^{- 1} (2 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{4 (2 x^{3} + 0)}}{2}$

Этап 5.2.3.2

Добавим $2 x^{3}$ и $0$ .

$f^{- 1} (2 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{4 \cdot (2 x^{3})}}{2}$

Этап 5.2.3.3

Умножим $4$ на $2$ .

$f^{- 1} (2 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3}}}{2}$

Этап 5.2.3.4

Перепишем $8 x^{3}$ в виде ${(2 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (2 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{{(2 x)}^{3}}}{2}$

Этап 5.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} (2 x^{3} - 5) = \frac{2 x}{2}$

Этап 5.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (2 x^{3} - 5) = \frac{2 x}{2}$

Этап 5.2.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (2 x^{3} - 5) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = 2 {(\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2})}^{3} - 5$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = 2 (\frac{{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}^{3}}{2^{3}}) - 5$

Этап 5.3.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Перепишем ${\sqrt[3]{4 (x + 5)}}^{3}$ в виде $4 (x + 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{4 (x + 5)}$ в виде ${(4 (x + 5))}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = 2 (\frac{{({(4 (x + 5))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}}) - 5$

Этап 5.3.3.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = 2 (\frac{{(4 (x + 5))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}}) - 5$

Этап 5.3.3.2.1.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = 2 (\frac{{(4 (x + 5))}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}}) - 5$

Этап 5.3.3.2.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = 2 (\frac{{(4 (x + 5))}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}}) - 5$

Этап 5.3.3.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x + 5)}{2^{3}}) - 5$

Этап 5.3.3.2.1.5

Упростим.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x + 5)}{2^{3}}) - 5$

Этап 5.3.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = 2 (\frac{4 x + 4 \cdot 5}{2^{3}}) - 5$

Этап 5.3.3.2.3

Умножим $4$ на $5$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = 2 (\frac{4 x + 20}{2^{3}}) - 5$

Этап 5.3.3.2.4

Вынесем множитель $4$ из $4 x + 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.4.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x) + 20}{2^{3}}) - 5$

Этап 5.3.3.2.4.2

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = 2 (\frac{4 x + 4 \cdot 5}{2^{3}}) - 5$

Этап 5.3.3.2.4.3

Вынесем множитель $4$ из $4 x + 4 \cdot 5$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x + 5)}{2^{3}}) - 5$

Этап 5.3.3.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x + 5)}{8}) - 5$

Этап 5.3.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x + 5)}{2 (4)}) - 5$

Этап 5.3.3.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x + 5)}{2 \cdot 4}) - 5$

Этап 5.3.3.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = \frac{4 (x + 5)}{4} - 5$

Этап 5.3.3.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = \frac{4 (x + 5)}{4} - 5$

Этап 5.3.3.5.2

Разделим $x + 5$ на $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = x + 5 - 5$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x + 5 - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вычтем $5$ из $5$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}$ — обратная к $f (x) = 2 x^{3} - 5$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}$