Алгебра Примеры

$(3, \frac{1}{64})$

Этап 1

Чтобы найти экспоненциальную функцию, $f (x) = a^{x}$ , график которой проходит через заданную точку, приравняем функцию $f (x)$ значению $\frac{1}{64}$ , $y$ в заданной точке, а $x$ приравняем значению $3$ , $x$ в заданной точке.

$\frac{1}{64} = a^{3}$

Этап 2

Решим уравнение относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $a^{3} = \frac{1}{64}$ .

$a^{3} = \frac{1}{64}$

Этап 2.2

Вычтем $\frac{1}{64}$ из обеих частей уравнения.

$a^{3} - \frac{1}{64} = 0$

Этап 2.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем $\frac{1}{64}$ в виде ${(\frac{1}{4})}^{3}$ .

$a^{3} - {(\frac{1}{4})}^{3} = 0$

Этап 2.3.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = a$ и $b = \frac{1}{4}$ .

$(a - \frac{1}{4}) (a^{2} + a (\frac{1}{4}) + {(\frac{1}{4})}^{2}) = 0$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Объединим $a$ и $\frac{1}{4}$ .

$(a - \frac{1}{4}) (a^{2} + \frac{a}{4} + {(\frac{1}{4})}^{2}) = 0$

Этап 2.3.3.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{4}$ .

$(a - \frac{1}{4}) (a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1^{2}}{4^{2}}) = 0$

Этап 2.3.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$(a - \frac{1}{4}) (a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{4^{2}}) = 0$

Этап 2.3.3.4

Возведем $4$ в степень $2$ .

$(a - \frac{1}{4}) (a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16}) = 0$

Этап 2.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$a - \frac{1}{4} = 0$

$a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16} = 0$

Этап 2.5

Приравняем $a - \frac{1}{4}$ к $0$ , затем решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $a - \frac{1}{4}$ к $0$ .

$a - \frac{1}{4} = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $\frac{1}{4}$ к обеим частям уравнения.

$a = \frac{1}{4}$

Этап 2.6

Приравняем $a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16}$ к $0$ , затем решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16}$ к $0$ .

$a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16} = 0$

Этап 2.6.2

Решим $a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16} = 0$ относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Умножим на наименьшее общее кратное знаменателей $16$ , затем упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$16 a^{2} + 16 (\frac{a}{4}) + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

Этап 2.6.2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$16 a^{2} + 4 (4) (\frac{a}{4}) + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

Этап 2.6.2.1.2.1.2

Сократим общий множитель.

$16 a^{2} + 4 \cdot (4 (\frac{a}{4})) + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

Этап 2.6.2.1.2.1.3

Перепишем это выражение.

$16 a^{2} + 4 a + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

Этап 2.6.2.1.2.2

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$16 a^{2} + 4 a + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

Этап 2.6.2.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$16 a^{2} + 4 a + 1 = 0$

Этап 2.6.2.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.6.2.3

Подставим значения $a = 16$ , $b = 4$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $a$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 1)}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.6.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.4.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.6.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.6.2.4.1.2.2

Умножим $- 64$ на $1$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.6.2.4.1.3

Вычтем $64$ из $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.6.2.4.1.4

Перепишем $- 48$ в виде $- 1 (48)$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.6.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (48)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.6.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.6.2.4.1.7

Перепишем $48$ в виде $4^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.4.1.7.1

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.6.2.4.1.7.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.6.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Этап 2.6.2.4.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.6.2.4.2

Умножим $2$ на $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Этап 2.6.2.4.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$a = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Этап 2.6.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.5.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.6.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.6.2.5.1.2.2

Умножим $- 64$ на $1$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.6.2.5.1.3

Вычтем $64$ из $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.6.2.5.1.4

Перепишем $- 48$ в виде $- 1 (48)$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.6.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (48)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.6.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.6.2.5.1.7

Перепишем $48$ в виде $4^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.5.1.7.1

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.6.2.5.1.7.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.6.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Этап 2.6.2.5.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.6.2.5.2

Умножим $2$ на $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Этап 2.6.2.5.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$a = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Этап 2.6.2.5.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$a = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{8}$

Этап 2.6.2.5.5

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{8}$

Этап 2.6.2.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{8}$

Этап 2.6.2.5.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{8}$

Этап 2.6.2.5.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$a = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}$

Этап 2.6.2.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.6.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.6.2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.6.2.6.1.2.2

Умножим $- 64$ на $1$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.6.2.6.1.3

Вычтем $64$ из $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.6.2.6.1.4

Перепишем $- 48$ в виде $- 1 (48)$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.6.2.6.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (48)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.6.2.6.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.6.2.6.1.7

Перепишем $48$ в виде $4^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.6.1.7.1

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.6.2.6.1.7.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.6.2.6.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Этап 2.6.2.6.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Этап 2.6.2.6.2

Умножим $2$ на $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Этап 2.6.2.6.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$a = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Этап 2.6.2.6.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$a = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{8}$

Этап 2.6.2.6.5

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{8}$

Этап 2.6.2.6.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{8}$

Этап 2.6.2.6.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{8}$

Этап 2.6.2.6.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$a = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Этап 2.6.2.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$a = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(a - \frac{1}{4}) (a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16}) = 0$ верно.

$a = \frac{1}{4}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Этап 2.8

Избавимся от всех величин, содержащих мнимые компоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Мнимые компоненты отсутствуют. Добавим $\frac{1}{4}$ к окончательному ответу.

$\frac{1}{4}$ — вещественное число

Этап 2.8.2

Буква $i$ представляет мнимую часть и не является вещественным числом. Не следует добавлять $- \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}$ к окончательному ответу.

$- \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}$ — не вещественное число

Этап 2.8.3

Буква $i$ представляет мнимую часть и не является вещественным числом. Не следует добавлять $- \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$ к окончательному ответу.

$- \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$ — не вещественное число

Этап 2.8.4

Окончательный ответ ― это список значений, не содержащих мнимых компонентов.

$a = \frac{1}{4}$

Этап 3

Подставим каждое значение $a$ в функцию $f (x) = a^{x}$ , чтобы найти каждую возможную экспоненциальную функцию.

$f (x) = {(\frac{1}{4})}^{x}$