Алгебра Примеры

$f (x) = 3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12$

Этап 1

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1, \pm 3$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm 3, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm 6, \pm 12$

Этап 2

Применим схему Горнера к $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x - 2}$ при $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Этап 2.2

Первое число в делимом $(3)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Этап 2.3

Умножим последний элемент в области результата $(3)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(6)$ под следующим членом делимого $(3)$ .

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$
	$3$

Этап 2.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$
	$3$	$9$

Этап 2.5

Умножим последний элемент в области результата $(9)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(18)$ под следующим членом делимого $(- 1)$ .

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$	$18$
	$3$	$9$

Этап 2.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$	$18$
	$3$	$9$	$17$

Этап 2.7

Умножим последний элемент в области результата $(17)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(34)$ под следующим членом делимого $(- 12)$ .

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$	$18$	$34$
	$3$	$9$	$17$

Этап 2.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$	$18$	$34$
	$3$	$9$	$17$	$22$

Этап 2.9

Умножим последний элемент в области результата $(22)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(44)$ под следующим членом делимого $(- 12)$ .

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$	$18$	$34$	$44$
	$3$	$9$	$17$	$22$

Этап 2.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$	$18$	$34$	$44$
	$3$	$9$	$17$	$22$	$32$

Этап 2.11

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$3 x^{3} + 9 x^{2} + (17) x + 22 + \frac{32}{x - 2}$

Этап 2.12

Упростим частное многочленов.

$3 x^{3} + 9 x^{2} + 17 x + 22 + \frac{32}{x - 2}$

Этап 3

Поскольку $2 > 0$ и все знаки в нижней строке схемы Горнера являются положительными, $2$ является верхней границей вещественных корней функции.

Верхняя граница: $2$

Этап 4

Применим схему Горнера к $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x + 2}$ при $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Этап 4.2

Первое число в делимом $(3)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Этап 4.3

Умножим последний элемент в области результата $(3)$ на делитель $(- 2)$ и запишем их произведение $(- 6)$ под следующим членом делимого $(3)$ .

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$
	$3$

Этап 4.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$
	$3$	$- 3$

Этап 4.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 3)$ на делитель $(- 2)$ и запишем их произведение $(6)$ под следующим членом делимого $(- 1)$ .

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$	$6$
	$3$	$- 3$

Этап 4.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$	$6$
	$3$	$- 3$	$5$

Этап 4.7

Умножим последний элемент в области результата $(5)$ на делитель $(- 2)$ и запишем их произведение $(- 10)$ под следующим членом делимого $(- 12)$ .

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$	$6$	$- 10$
	$3$	$- 3$	$5$

Этап 4.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$	$6$	$- 10$
	$3$	$- 3$	$5$	$- 22$

Этап 4.9

Умножим последний элемент в области результата $(- 22)$ на делитель $(- 2)$ и запишем их произведение $(44)$ под следующим членом делимого $(- 12)$ .

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$	$6$	$- 10$	$44$
	$3$	$- 3$	$5$	$- 22$

Этап 4.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$	$6$	$- 10$	$44$
	$3$	$- 3$	$5$	$- 22$	$32$

Этап 4.11

$3 x^{3} + - 3 x^{2} + (5) x - 22 + \frac{32}{x + 2}$

Этап 4.12

Упростим частное многочленов.

$3 x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 22 + \frac{32}{x + 2}$

Этап 5

Поскольку $- 2 < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- 2$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- 2$

Этап 6

Применим схему Горнера к $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x - 3}$ при $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(3)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(3)$ на делитель $(3)$ и запишем их произведение $(9)$ под следующим членом делимого $(3)$ .

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$
	$3$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$
	$3$	$12$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(12)$ на делитель $(3)$ и запишем их произведение $(36)$ под следующим членом делимого $(- 1)$ .

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$	$36$
	$3$	$12$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$	$36$
	$3$	$12$	$35$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(35)$ на делитель $(3)$ и запишем их произведение $(105)$ под следующим членом делимого $(- 12)$ .

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$	$36$	$105$
	$3$	$12$	$35$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$	$36$	$105$
	$3$	$12$	$35$	$93$

Этап 6.9

Умножим последний элемент в области результата $(93)$ на делитель $(3)$ и запишем их произведение $(279)$ под следующим членом делимого $(- 12)$ .

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$	$36$	$105$	$279$
	$3$	$12$	$35$	$93$

Этап 6.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$	$36$	$105$	$279$
	$3$	$12$	$35$	$93$	$267$

Этап 6.11

$3 x^{3} + 12 x^{2} + (35) x + 93 + \frac{267}{x - 3}$

Этап 6.12

Упростим частное многочленов.

$3 x^{3} + 12 x^{2} + 35 x + 93 + \frac{267}{x - 3}$

Этап 7

Поскольку $3 > 0$ и все знаки в нижней строке схемы Горнера являются положительными, $3$ является верхней границей вещественных корней функции.

Верхняя граница: $3$

Этап 8

Применим схему Горнера к $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x + 3}$ при $x = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Этап 8.2

Первое число в делимом $(3)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Этап 8.3

Умножим последний элемент в области результата $(3)$ на делитель $(- 3)$ и запишем их произведение $(- 9)$ под следующим членом делимого $(3)$ .

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$
	$3$

Этап 8.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$
	$3$	$- 6$

Этап 8.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 6)$ на делитель $(- 3)$ и запишем их произведение $(18)$ под следующим членом делимого $(- 1)$ .

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$	$18$
	$3$	$- 6$

Этап 8.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$	$18$
	$3$	$- 6$	$17$

Этап 8.7

Умножим последний элемент в области результата $(17)$ на делитель $(- 3)$ и запишем их произведение $(- 51)$ под следующим членом делимого $(- 12)$ .

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$	$18$	$- 51$
	$3$	$- 6$	$17$

Этап 8.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$	$18$	$- 51$
	$3$	$- 6$	$17$	$- 63$

Этап 8.9

Умножим последний элемент в области результата $(- 63)$ на делитель $(- 3)$ и запишем их произведение $(189)$ под следующим членом делимого $(- 12)$ .

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$	$18$	$- 51$	$189$
	$3$	$- 6$	$17$	$- 63$

Этап 8.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$	$18$	$- 51$	$189$
	$3$	$- 6$	$17$	$- 63$	$177$

Этап 8.11

$3 x^{3} + - 6 x^{2} + (17) x - 63 + \frac{177}{x + 3}$

Этап 8.12

Упростим частное многочленов.

$3 x^{3} - 6 x^{2} + 17 x - 63 + \frac{177}{x + 3}$

Этап 9

Поскольку $- 3 < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- 3$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- 3$

Этап 10

Применим схему Горнера к $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x - 4}$ при $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Этап 10.2

Первое число в делимом $(3)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Этап 10.3

Умножим последний элемент в области результата $(3)$ на делитель $(4)$ и запишем их произведение $(12)$ под следующим членом делимого $(3)$ .

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$
	$3$

Этап 10.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$
	$3$	$15$

Этап 10.5

Умножим последний элемент в области результата $(15)$ на делитель $(4)$ и запишем их произведение $(60)$ под следующим членом делимого $(- 1)$ .

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$	$60$
	$3$	$15$

Этап 10.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$	$60$
	$3$	$15$	$59$

Этап 10.7

Умножим последний элемент в области результата $(59)$ на делитель $(4)$ и запишем их произведение $(236)$ под следующим членом делимого $(- 12)$ .

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$	$60$	$236$
	$3$	$15$	$59$

Этап 10.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$	$60$	$236$
	$3$	$15$	$59$	$224$

Этап 10.9

Умножим последний элемент в области результата $(224)$ на делитель $(4)$ и запишем их произведение $(896)$ под следующим членом делимого $(- 12)$ .

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$	$60$	$236$	$896$
	$3$	$15$	$59$	$224$

Этап 10.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$	$60$	$236$	$896$
	$3$	$15$	$59$	$224$	$884$

Этап 10.11

$3 x^{3} + 15 x^{2} + (59) x + 224 + \frac{884}{x - 4}$

Этап 10.12

Упростим частное многочленов.

$3 x^{3} + 15 x^{2} + 59 x + 224 + \frac{884}{x - 4}$

Этап 11

Поскольку $4 > 0$ и все знаки в нижней строке схемы Горнера являются положительными, $4$ является верхней границей вещественных корней функции.

Верхняя граница: $4$

Этап 12

Применим схему Горнера к $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x + 4}$ при $x = - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Этап 12.2

Первое число в делимом $(3)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Этап 12.3

Умножим последний элемент в области результата $(3)$ на делитель $(- 4)$ и запишем их произведение $(- 12)$ под следующим членом делимого $(3)$ .

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$
	$3$

Этап 12.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$
	$3$	$- 9$

Этап 12.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 9)$ на делитель $(- 4)$ и запишем их произведение $(36)$ под следующим членом делимого $(- 1)$ .

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$	$36$
	$3$	$- 9$

Этап 12.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$	$36$
	$3$	$- 9$	$35$

Этап 12.7

Умножим последний элемент в области результата $(35)$ на делитель $(- 4)$ и запишем их произведение $(- 140)$ под следующим членом делимого $(- 12)$ .

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$	$36$	$- 140$
	$3$	$- 9$	$35$

Этап 12.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$	$36$	$- 140$
	$3$	$- 9$	$35$	$- 152$

Этап 12.9

Умножим последний элемент в области результата $(- 152)$ на делитель $(- 4)$ и запишем их произведение $(608)$ под следующим членом делимого $(- 12)$ .

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$	$36$	$- 140$	$608$
	$3$	$- 9$	$35$	$- 152$

Этап 12.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$	$36$	$- 140$	$608$
	$3$	$- 9$	$35$	$- 152$	$596$

Этап 12.11

$3 x^{3} + - 9 x^{2} + (35) x - 152 + \frac{596}{x + 4}$

Этап 12.12

Упростим частное многочленов.

$3 x^{3} - 9 x^{2} + 35 x - 152 + \frac{596}{x + 4}$

Этап 13

Поскольку $- 4 < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- 4$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- 4$

Этап 14

Применим схему Горнера к $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x + \frac{4}{3}}$ при $x = - \frac{4}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Этап 14.2

Первое число в делимом $(3)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Этап 14.3

Умножим последний элемент в области результата $(3)$ на делитель $(- \frac{4}{3})$ и запишем их произведение $(- 4)$ под следующим членом делимого $(3)$ .

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$
	$3$

Этап 14.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$
	$3$	$- 1$

Этап 14.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 1)$ на делитель $(- \frac{4}{3})$ и запишем их произведение $(\frac{4}{3})$ под следующим членом делимого $(- 1)$ .

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$	$\frac{4}{3}$
	$3$	$- 1$

Этап 14.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$	$\frac{4}{3}$
	$3$	$- 1$	$\frac{1}{3}$

Этап 14.7

Умножим последний элемент в области результата $(\frac{1}{3})$ на делитель $(- \frac{4}{3})$ и запишем их произведение $(- \frac{4}{9})$ под следующим членом делимого $(- 12)$ .

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$	$\frac{4}{3}$	$- \frac{4}{9}$
	$3$	$- 1$	$\frac{1}{3}$

Этап 14.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$	$\frac{4}{3}$	$- \frac{4}{9}$
	$3$	$- 1$	$\frac{1}{3}$	$- \frac{112}{9}$

Этап 14.9

Умножим последний элемент в области результата $(- \frac{112}{9})$ на делитель $(- \frac{4}{3})$ и запишем их произведение $(\frac{448}{27})$ под следующим членом делимого $(- 12)$ .

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$	$\frac{4}{3}$	$- \frac{4}{9}$	$\frac{448}{27}$
	$3$	$- 1$	$\frac{1}{3}$	$- \frac{112}{9}$

Этап 14.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$	$\frac{4}{3}$	$- \frac{4}{9}$	$\frac{448}{27}$
	$3$	$- 1$	$\frac{1}{3}$	$- \frac{112}{9}$	$\frac{124}{27}$

Этап 14.11

$3 x^{3} + - 1 x^{2} + (\frac{1}{3}) x - \frac{112}{9} + \frac{\frac{124}{27}}{x + \frac{4}{3}}$

Этап 14.12

Упростим частное многочленов.

$3 x^{3} - x^{2} + \frac{x}{3} - \frac{112}{9} + \frac{124}{9 (3 x + 4)}$

Этап 15

Поскольку $- \frac{4}{3} < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- \frac{4}{3}$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- \frac{4}{3}$

Этап 16

Применим схему Горнера к $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x - 6}$ при $x = 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Этап 16.2

Первое число в делимом $(3)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Этап 16.3

Умножим последний элемент в области результата $(3)$ на делитель $(6)$ и запишем их произведение $(18)$ под следующим членом делимого $(3)$ .

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$
	$3$

Этап 16.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$
	$3$	$21$

Этап 16.5

Умножим последний элемент в области результата $(21)$ на делитель $(6)$ и запишем их произведение $(126)$ под следующим членом делимого $(- 1)$ .

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$	$126$
	$3$	$21$

Этап 16.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$	$126$
	$3$	$21$	$125$

Этап 16.7

Умножим последний элемент в области результата $(125)$ на делитель $(6)$ и запишем их произведение $(750)$ под следующим членом делимого $(- 12)$ .

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$	$126$	$750$
	$3$	$21$	$125$

Этап 16.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$	$126$	$750$
	$3$	$21$	$125$	$738$

Этап 16.9

Умножим последний элемент в области результата $(738)$ на делитель $(6)$ и запишем их произведение $(4428)$ под следующим членом делимого $(- 12)$ .

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$	$126$	$750$	$4428$
	$3$	$21$	$125$	$738$

Этап 16.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$	$126$	$750$	$4428$
	$3$	$21$	$125$	$738$	$4416$

Этап 16.11

$3 x^{3} + 21 x^{2} + (125) x + 738 + \frac{4416}{x - 6}$

Этап 16.12

Упростим частное многочленов.

$3 x^{3} + 21 x^{2} + 125 x + 738 + \frac{4416}{x - 6}$

Этап 17

Поскольку $6 > 0$ и все знаки в нижней строке схемы Горнера являются положительными, $6$ является верхней границей вещественных корней функции.

Верхняя граница: $6$

Этап 18

Применим схему Горнера к $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x + 6}$ при $x = - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Этап 18.2

Первое число в делимом $(3)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Этап 18.3

Умножим последний элемент в области результата $(3)$ на делитель $(- 6)$ и запишем их произведение $(- 18)$ под следующим членом делимого $(3)$ .

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$
	$3$

Этап 18.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$
	$3$	$- 15$

Этап 18.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 15)$ на делитель $(- 6)$ и запишем их произведение $(90)$ под следующим членом делимого $(- 1)$ .

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$	$90$
	$3$	$- 15$

Этап 18.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$	$90$
	$3$	$- 15$	$89$

Этап 18.7

Умножим последний элемент в области результата $(89)$ на делитель $(- 6)$ и запишем их произведение $(- 534)$ под следующим членом делимого $(- 12)$ .

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$	$90$	$- 534$
	$3$	$- 15$	$89$

Этап 18.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$	$90$	$- 534$
	$3$	$- 15$	$89$	$- 546$

Этап 18.9

Умножим последний элемент в области результата $(- 546)$ на делитель $(- 6)$ и запишем их произведение $(3276)$ под следующим членом делимого $(- 12)$ .

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$	$90$	$- 534$	$3276$
	$3$	$- 15$	$89$	$- 546$

Этап 18.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$	$90$	$- 534$	$3276$
	$3$	$- 15$	$89$	$- 546$	$3264$

Этап 18.11

$3 x^{3} + - 15 x^{2} + (89) x - 546 + \frac{3264}{x + 6}$

Этап 18.12

Упростим частное многочленов.

$3 x^{3} - 15 x^{2} + 89 x - 546 + \frac{3264}{x + 6}$

Этап 19

Поскольку $- 6 < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- 6$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- 6$

Этап 20

Применим схему Горнера к $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x - 12}$ при $x = 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Этап 20.2

Первое число в делимом $(3)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Этап 20.3

Умножим последний элемент в области результата $(3)$ на делитель $(12)$ и запишем их произведение $(36)$ под следующим членом делимого $(3)$ .

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$
	$3$

Этап 20.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$
	$3$	$39$

Этап 20.5

Умножим последний элемент в области результата $(39)$ на делитель $(12)$ и запишем их произведение $(468)$ под следующим членом делимого $(- 1)$ .

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$	$468$
	$3$	$39$

Этап 20.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$	$468$
	$3$	$39$	$467$

Этап 20.7

Умножим последний элемент в области результата $(467)$ на делитель $(12)$ и запишем их произведение $(5604)$ под следующим членом делимого $(- 12)$ .

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$	$468$	$5604$
	$3$	$39$	$467$

Этап 20.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$	$468$	$5604$
	$3$	$39$	$467$	$5592$

Этап 20.9

Умножим последний элемент в области результата $(5592)$ на делитель $(12)$ и запишем их произведение $(67104)$ под следующим членом делимого $(- 12)$ .

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$	$468$	$5604$	$67104$
	$3$	$39$	$467$	$5592$

Этап 20.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$	$468$	$5604$	$67104$
	$3$	$39$	$467$	$5592$	$67092$

Этап 20.11

$3 x^{3} + 39 x^{2} + (467) x + 5592 + \frac{67092}{x - 12}$

Этап 20.12

Упростим частное многочленов.

$3 x^{3} + 39 x^{2} + 467 x + 5592 + \frac{67092}{x - 12}$

Этап 21

Поскольку $12 > 0$ и все знаки в нижней строке схемы Горнера являются положительными, $12$ является верхней границей вещественных корней функции.

Верхняя граница: $12$

Этап 22

Применим схему Горнера к $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x + 12}$ при $x = - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Этап 22.2

Первое число в делимом $(3)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Этап 22.3

Умножим последний элемент в области результата $(3)$ на делитель $(- 12)$ и запишем их произведение $(- 36)$ под следующим членом делимого $(3)$ .

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$
	$3$

Этап 22.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$
	$3$	$- 33$

Этап 22.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 33)$ на делитель $(- 12)$ и запишем их произведение $(396)$ под следующим членом делимого $(- 1)$ .

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$	$396$
	$3$	$- 33$

Этап 22.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$	$396$
	$3$	$- 33$	$395$

Этап 22.7

Умножим последний элемент в области результата $(395)$ на делитель $(- 12)$ и запишем их произведение $(- 4740)$ под следующим членом делимого $(- 12)$ .

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$	$396$	$- 4740$
	$3$	$- 33$	$395$

Этап 22.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$	$396$	$- 4740$
	$3$	$- 33$	$395$	$- 4752$

Этап 22.9

Умножим последний элемент в области результата $(- 4752)$ на делитель $(- 12)$ и запишем их произведение $(57024)$ под следующим членом делимого $(- 12)$ .

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$	$396$	$- 4740$	$57024$
	$3$	$- 33$	$395$	$- 4752$

Этап 22.10

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$	$396$	$- 4740$	$57024$
	$3$	$- 33$	$395$	$- 4752$	$57012$

Этап 22.11

$3 x^{3} + - 33 x^{2} + (395) x - 4752 + \frac{57012}{x + 12}$

Этап 22.12

Упростим частное многочленов.

$3 x^{3} - 33 x^{2} + 395 x - 4752 + \frac{57012}{x + 12}$

Этап 23

Поскольку $- 12 < 0$ и знаки в нижней строке схемы Горнера меняются, $- 12$ является нижней границей вещественных корней функции.

Нижняя граница: $- 12$

Этап 24

Определим верхнюю и нижнюю границы.

Верхние границы: $2, 3, 4, 6, 12$

Нижние границы: $- 2, - 3, - 4, - \frac{4}{3}, - 6, - 12$

Этап 25