Алгебра Примеры

$- 4 - \sqrt{2} i$

Этап 1

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 2

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 3

Подставим фактические значения $a = - 4$ и $b = - 1 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1 \sqrt{2})}^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Этап 4

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем $- 1 \sqrt{2}$ в виде $- \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(- \sqrt{2})}^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Этап 4.1.2

Применим правило умножения к $- \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Этап 4.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{1 {\sqrt{2}}^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Этап 4.1.4

Умножим ${\sqrt{2}}^{2}$ на $1$ .

$| z | = \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Этап 4.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Этап 4.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- 4)}^{2}}$

Этап 4.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$| z | = \sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {(- 4)}^{2}}$

Этап 4.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Сократим общий множитель.

$| z | = \sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {(- 4)}^{2}}$

Этап 4.2.4.2

Перепишем это выражение.

$| z | = \sqrt{2 + {(- 4)}^{2}}$

Этап 4.2.5

Найдем экспоненту.

$| z | = \sqrt{2 + {(- 4)}^{2}}$

Этап 4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{2 + 16}$

Этап 4.3.2

Добавим $2$ и $16$ .

$| z | = \sqrt{18}$

Этап 4.4

Перепишем $18$ в виде $3^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $9$ из $18$ .

$| z | = \sqrt{9 (2)}$

Этап 4.4.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$| z | = \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Этап 4.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$| z | = 3 \sqrt{2}$

Этап 5

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{- 1 \sqrt{2}}{- 4})$

Этап 6

Поскольку обратный тангенс $\frac{- 1 \sqrt{2}}{- 4}$ дает угол в третьем квадранте, значение угла равно $3.48142956$ .

$θ = 3.48142956$

Этап 7

Подставим значения $θ = 3.48142956$ и $| z | = 3 \sqrt{2}$ .

$3 \sqrt{2} (\cos (3.48142956) + i \sin (3.48142956))$