Алгебра Примеры

$1$ , $3$ , $6$ , $10$ , $15$

Этап 1

Найдем разности первого уровня, вычислив разности между последовательными членами.

$2, 3, 4, 5$

Этап 2

Найдем разности второго уровня, вычислив разности между разностями первого уровня. Так как разность второго уровня — константа, это квадратичная последовательность, заданная посредством $a_{n} = a n^{2} + b n + c$ .

$1$

Этап 3

Решим относительно $a$ , приравняв $2 a$ к постоянному значению разности второго уровня $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $2 a$ к постоянному значению разности второго уровня $1$ .

$2 a = 1$

Этап 3.2

Разделим каждый член $2 a = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $2 a = 1$ на $2$ .

$\frac{2 a}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 a}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $a$ на $1$ .

$a = \frac{1}{2}$

Этап 4

Решим относительно $b$ , приравняв $3 a + b$ к значению первой разности первого уровня $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $3 a + b$ к значению первой разности первого уровня $2$ .

$3 a + b = 2$

Этап 4.2

Подставим $\frac{1}{2}$ вместо $a$ .

$3 (\frac{1}{2}) + b = 2$

Этап 4.3

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} + b = 2$

Этап 4.4

Перенесем все члены без $b$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вычтем $\frac{3}{2}$ из обеих частей уравнения.

$b = 2 - \frac{3}{2}$

Этап 4.4.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$b = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

Этап 4.4.3

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$b = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

Этап 4.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$b = \frac{2 \cdot 2 - 3}{2}$

Этап 4.4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$b = \frac{4 - 3}{2}$

Этап 4.4.5.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$b = \frac{1}{2}$

Этап 5

Решим относительно $c$ , приравняв $a + b + c$ к первому члену последовательности $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $a + b + c$ к первому члену последовательности $1$ .

$a + b + c = 1$

Этап 5.2

Подставим $\frac{1}{2}$ вместо $a$ , а $\frac{1}{2}$ вместо $b$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + c = 1$

Этап 5.3

Упростим $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$c + \frac{1 + 1}{2} = 1$

Этап 5.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Добавим $1$ и $1$ .

$c + \frac{2}{2} = 1$

Этап 5.3.2.2

Разделим $2$ на $2$ .

$c + 1 = 1$

Этап 5.4

Перенесем все члены без $c$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$c = 1 - 1$

Этап 5.4.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$c = 0$

Этап 6

Подставим значения $a$ , $b$ и $c$ в формулу квадратичной последовательности $a_{n} = a n^{2} + b n + c$ .

$a_{n} = \frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{2} n + 0$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим $\frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{2} n$ и $0$ .

$a_{n} = \frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{2} n$

Этап 7.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $n^{2}$ .

$a_{n} = \frac{n^{2}}{2} + \frac{1}{2} n$

Этап 7.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $n$ .

$a_{n} = \frac{n^{2}}{2} + \frac{n}{2}$