Алгебра Примеры

$x + 2 y + z = 4$ , $4 y - 3 z = 1$ , $2 y + 10 z = 12$

Этап 1

Выберем два уравнения и исключим одну переменную. В данном случае исключим $z$ .

$x + 2 y + z = 4$

$4 y - 3 z = 1$

Этап 2

Исключим $z$ из системы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждое уравнение на значение, которое сделает коэффициенты $z$ противоположными.

$(3) \cdot (x + 2 y + z) = (3) (4)$

$4 y - 3 z = 1$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Упростим $(3) \cdot (x + 2 y + z)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x + 3 (2 y) + 3 z = (3) (4)$

$4 y - 3 z = 1$

Этап 2.2.1.1.2

Умножим $2$ на $3$ .

$3 x + 6 y + 3 z = (3) (4)$

$4 y - 3 z = 1$

$3 x + 6 y + 3 z = (3) (4)$

$4 y - 3 z = 1$

$3 x + 6 y + 3 z = (3) (4)$

$4 y - 3 z = 1$

Этап 2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим $3$ на $4$ .

$3 x + 6 y + 3 z = 12$

$4 y - 3 z = 1$

$3 x + 6 y + 3 z = 12$

$4 y - 3 z = 1$

$3 x + 6 y + 3 z = 12$

$4 y - 3 z = 1$

Этап 2.3

Сложим эти два уравнения, чтобы исключить $z$ из системы.

	$3$	$x$	$+$	$6$	$y$		$+$	$3$	$z$	$=$	$1$	$2$
$+$					$4$	$y$	$-$	$3$	$z$	$=$		$1$
	$3$	$x$	$+$	$1$	$0$	$y$				$=$	$1$	$3$

Этап 2.4

В результирующем уравнении выражение $z$ исключено.

$3 x + 10 y = 13$

Этап 3

Выберем еще два уравнения и исключим $z$ .

$4 y - 3 z = 1$

$2 y + 10 z = 12$

Этап 4

Исключим $z$ из системы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим каждое уравнение на значение, которое сделает коэффициенты $z$ противоположными.

$(10) \cdot (4 y - 3 z) = (10) (1)$

$(3) \cdot (2 y + 10 z) = (3) (12)$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Упростим $(10) \cdot (4 y - 3 z)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$10 (4 y) + 10 (- 3 z) = (10) (1)$

$(3) \cdot (2 y + 10 z) = (3) (12)$

Этап 4.2.1.1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.2.1

Умножим $4$ на $10$ .

$40 y + 10 (- 3 z) = (10) (1)$

$(3) \cdot (2 y + 10 z) = (3) (12)$

Этап 4.2.1.1.2.2

Умножим $- 3$ на $10$ .

$40 y - 30 z = (10) (1)$

$(3) \cdot (2 y + 10 z) = (3) (12)$

$40 y - 30 z = (10) (1)$

$(3) \cdot (2 y + 10 z) = (3) (12)$

$40 y - 30 z = (10) (1)$

$(3) \cdot (2 y + 10 z) = (3) (12)$

$40 y - 30 z = (10) (1)$

$(3) \cdot (2 y + 10 z) = (3) (12)$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим $10$ на $1$ .

$40 y - 30 z = 10$

$(3) \cdot (2 y + 10 z) = (3) (12)$

$40 y - 30 z = 10$

$(3) \cdot (2 y + 10 z) = (3) (12)$

Этап 4.2.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Упростим $(3) \cdot (2 y + 10 z)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$40 y - 30 z = 10$

$3 (2 y) + 3 (10 z) = (3) (12)$

Этап 4.2.3.1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.2.1

Умножим $2$ на $3$ .

$40 y - 30 z = 10$

$6 y + 3 (10 z) = (3) (12)$

Этап 4.2.3.1.2.2

Умножим $10$ на $3$ .

$40 y - 30 z = 10$

$6 y + 30 z = (3) (12)$

$40 y - 30 z = 10$

$6 y + 30 z = (3) (12)$

$40 y - 30 z = 10$

$6 y + 30 z = (3) (12)$

$40 y - 30 z = 10$

$6 y + 30 z = (3) (12)$

Этап 4.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Умножим $3$ на $12$ .

$40 y - 30 z = 10$

$6 y + 30 z = 36$

$40 y - 30 z = 10$

$6 y + 30 z = 36$

$40 y - 30 z = 10$

$6 y + 30 z = 36$

Этап 4.3

Сложим эти два уравнения, чтобы исключить $z$ из системы.

	$4$	$0$	$y$	$-$	$3$	$0$	$z$	$=$	$1$	$0$
$+$		$6$	$y$	$+$	$3$	$0$	$z$	$=$	$3$	$6$
	$4$	$6$	$y$					$=$	$4$	$6$

Этап 4.4

В результирующем уравнении выражение $z$ исключено.

$46 y = 46$

Этап 5

Возьмем результирующие уравнения и исключим другую переменную. В этом случае исключим $y$ .

$3 x + 10 y = 13$

$46 y = 46$

Этап 6

Исключим $y$ из системы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим каждое уравнение на значение, которое сделает коэффициенты $y$ противоположными.

$(- 23) \cdot (3 x + 10 y) = (- 23) (13)$

$(5) \cdot (46 y) = (5) (46)$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Упростим $(- 23) \cdot (3 x + 10 y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 23 (3 x) - 23 (10 y) = (- 23) (13)$

$(5) \cdot (46 y) = (5) (46)$

Этап 6.2.1.1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.2.1

Умножим $3$ на $- 23$ .

$- 69 x - 23 (10 y) = (- 23) (13)$

$(5) \cdot (46 y) = (5) (46)$

Этап 6.2.1.1.2.2

Умножим $10$ на $- 23$ .

$- 69 x - 230 y = (- 23) (13)$

$(5) \cdot (46 y) = (5) (46)$

$- 69 x - 230 y = (- 23) (13)$

$(5) \cdot (46 y) = (5) (46)$

$- 69 x - 230 y = (- 23) (13)$

$(5) \cdot (46 y) = (5) (46)$

$- 69 x - 230 y = (- 23) (13)$

$(5) \cdot (46 y) = (5) (46)$

Этап 6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Умножим $- 23$ на $13$ .

$- 69 x - 230 y = - 299$

$(5) \cdot (46 y) = (5) (46)$

$- 69 x - 230 y = - 299$

$(5) \cdot (46 y) = (5) (46)$

Этап 6.2.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Умножим $46$ на $5$ .

$- 69 x - 230 y = - 299$

$230 y = (5) (46)$

$- 69 x - 230 y = - 299$

$230 y = (5) (46)$

Этап 6.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Умножим $5$ на $46$ .

$- 69 x - 230 y = - 299$

$230 y = 230$

$- 69 x - 230 y = - 299$

$230 y = 230$

$- 69 x - 230 y = - 299$

$230 y = 230$

Этап 6.3

Сложим эти два уравнения, чтобы исключить $y$ из системы.

	$-$	$6$	$9$	$x$	$-$	$2$	$3$	$0$	$y$	$=$	$-$	$2$	$9$	$9$
$+$						$2$	$3$	$0$	$y$	$=$		$2$	$3$	$0$
	$-$	$6$	$9$	$x$						$=$		$-$	$6$	$9$

Этап 6.4

В результирующем уравнении выражение $y$ исключено.

$- 69 x = - 69$

Этап 6.5

Разделим каждый член $- 69 x = - 69$ на $- 69$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Разделим каждый член $- 69 x = - 69$ на $- 69$ .

$\frac{- 69 x}{- 69} = \frac{- 69}{- 69}$

Этап 6.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Сократим общий множитель $- 69$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 69 x}{- 69} = \frac{- 69}{- 69}$

Этап 6.5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 69}{- 69}$

Этап 6.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.1

Разделим $- 69$ на $- 69$ .

$x = 1$

Этап 7

Подставим значение $x$ в уравнение с уже исключенным $z$ и решим относительно оставшейся переменной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим значение $x$ в уравнение с уже исключенным $z$ .

$3 (1) + 10 y = 13$

Этап 7.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + 10 y = 13$

Этап 7.2.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$10 y = 13 - 3$

Этап 7.2.2.2

Вычтем $3$ из $13$ .

$10 y = 10$

Этап 7.2.3

Разделим каждый член $10 y = 10$ на $10$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Разделим каждый член $10 y = 10$ на $10$ .

$\frac{10 y}{10} = \frac{10}{10}$

Этап 7.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10 y}{10} = \frac{10}{10}$

Этап 7.2.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{10}{10}$

Этап 7.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.3.1

Разделим $10$ на $10$ .

$y = 1$

Этап 8

Подставим значение всех известных переменных в одно из исходных уравнений и решим относительно последней переменной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Подставим значение всех известных переменных в одно из исходных уравнений.

$(1) + 2 (1) + z = 4$

Этап 8.2

Решим относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим $(1) + 2 (1) + z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Умножим $2$ на $1$ .

$1 + 2 + z = 4$

Этап 8.2.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$3 + z = 4$

Этап 8.2.2

Перенесем все члены без $z$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$z = 4 - 3$

Этап 8.2.2.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$z = 1$

Этап 9

Решение системы уравнений может быть представлено в виде точки.

$(1, 1, 1)$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

В виде точки:

$(1, 1, 1)$

Форма уравнения:

$x = 1, y = 1, z = 1$

	$3$	$x$	$+$	$6$	$y$		$+$	$3$	$z$	$=$	$1$	$2$
$+$					$4$	$y$	$-$	$3$	$z$	$=$		$1$
	$3$	$x$	$+$	$1$	$0$	$y$				$=$	$1$	$3$

	$4$	$0$	$y$	$-$	$3$	$0$	$z$	$=$	$1$	$0$
$+$		$6$	$y$	$+$	$3$	$0$	$z$	$=$	$3$	$6$
	$4$	$6$	$y$					$=$	$4$	$6$

	$-$	$6$	$9$	$x$	$-$	$2$	$3$	$0$	$y$	$=$	$-$	$2$	$9$	$9$
$+$						$2$	$3$	$0$	$y$	$=$		$2$	$3$	$0$
	$-$	$6$	$9$	$x$						$=$		$-$	$6$	$9$

	$3$	$x$	$+$	$6$	$y$		$+$	$3$	$z$	$=$	$1$	$2$
$+$					$4$	$y$	$-$	$3$	$z$	$=$		$1$
	$3$	$x$	$+$	$1$	$0$	$y$				$=$	$1$	$3$

	$4$	$0$	$y$	$-$	$3$	$0$	$z$	$=$	$1$	$0$
$+$		$6$	$y$	$+$	$3$	$0$	$z$	$=$	$3$	$6$
	$4$	$6$	$y$					$=$	$4$	$6$

	$-$	$6$	$9$	$x$	$-$	$2$	$3$	$0$	$y$	$=$	$-$	$2$	$9$	$9$
$+$						$2$	$3$	$0$	$y$	$=$		$2$	$3$	$0$
	$-$	$6$	$9$	$x$						$=$		$-$	$6$	$9$

	$3$	$x$	$+$	$6$	$y$		$+$	$3$	$z$	$=$	$1$	$2$
$+$					$4$	$y$	$-$	$3$	$z$	$=$		$1$
	$3$	$x$	$+$	$1$	$0$	$y$				$=$	$1$	$3$

	$4$	$0$	$y$	$-$	$3$	$0$	$z$	$=$	$1$	$0$
$+$		$6$	$y$	$+$	$3$	$0$	$z$	$=$	$3$	$6$
	$4$	$6$	$y$					$=$	$4$	$6$

	$-$	$6$	$9$	$x$	$-$	$2$	$3$	$0$	$y$	$=$	$-$	$2$	$9$	$9$
$+$						$2$	$3$	$0$	$y$	$=$		$2$	$3$	$0$
	$-$	$6$	$9$	$x$						$=$		$-$	$6$	$9$