Алгебра Примеры

${(x + 3)}^{7}$

Этап 1

Треугольник Паскаля можно представить в следующем виде:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$\dots$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

$1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$

$1 - 7 - 21 - 35 - 35 - 21 - 7 - 1$

Данный треугольник можно использовать для вычисления коэффициентов разложения ${(a + b)}^{n}$ , беря степень $n$ и добавляя $1$ . Коэффициенты соответствуют строке $n + 1$ треугольника Паскаля. Для ${(x + 3)}^{7}$ $n = 7$ , поэтому коэффициенты разложения соответствуют строке $8$ .

Этап 2

Разложение соответствует правилу ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Значения коэффициентов, определяемые треугольником Паскаля: $1 - 7 - 21 - 35 - 35 - 21 - 7 - 1$ .

$1 a^{7} b^{0} + 7 a^{6} b + 21 a^{5} b^{2} + 35 a^{4} b^{3} + 35 a^{3} b^{4} + 21 a^{2} b^{5} + 7 a b^{6} + 1 a^{0} b^{7}$

Этап 3

Подставим известные значения $a$ $x$ и $b$ $3$ в выражение.

$1 {(x)}^{7} {(3)}^{0} + 7 {(x)}^{6} {(3)}^{1} + 21 {(x)}^{5} {(3)}^{2} + 35 {(x)}^{4} {(3)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(3)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(3)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(3)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{7}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим ${(x)}^{7}$ на $1$ .

${(x)}^{7} {(3)}^{0} + 7 {(x)}^{6} {(3)}^{1} + 21 {(x)}^{5} {(3)}^{2} + 35 {(x)}^{4} {(3)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(3)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(3)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(3)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{7}$

Этап 4.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x^{7} \cdot 1 + 7 {(x)}^{6} {(3)}^{1} + 21 {(x)}^{5} {(3)}^{2} + 35 {(x)}^{4} {(3)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(3)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(3)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(3)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{7}$

Этап 4.3

Умножим $x^{7}$ на $1$ .

$x^{7} + 7 {(x)}^{6} {(3)}^{1} + 21 {(x)}^{5} {(3)}^{2} + 35 {(x)}^{4} {(3)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(3)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(3)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(3)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{7}$

Этап 4.4

Найдем экспоненту.

$x^{7} + 7 x^{6} \cdot 3 + 21 {(x)}^{5} {(3)}^{2} + 35 {(x)}^{4} {(3)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(3)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(3)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(3)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{7}$

Этап 4.5

Умножим $3$ на $7$ .

$x^{7} + 21 x^{6} + 21 {(x)}^{5} {(3)}^{2} + 35 {(x)}^{4} {(3)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(3)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(3)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(3)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{7}$

Этап 4.6

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x^{7} + 21 x^{6} + 21 x^{5} \cdot 9 + 35 {(x)}^{4} {(3)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(3)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(3)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(3)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{7}$

Этап 4.7

Умножим $9$ на $21$ .

$x^{7} + 21 x^{6} + 189 x^{5} + 35 {(x)}^{4} {(3)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(3)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(3)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(3)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{7}$

Этап 4.8

Возведем $3$ в степень $3$ .

$x^{7} + 21 x^{6} + 189 x^{5} + 35 x^{4} \cdot 27 + 35 {(x)}^{3} {(3)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(3)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(3)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{7}$

Этап 4.9

Умножим $27$ на $35$ .

$x^{7} + 21 x^{6} + 189 x^{5} + 945 x^{4} + 35 {(x)}^{3} {(3)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(3)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(3)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{7}$

Этап 4.10

Возведем $3$ в степень $4$ .

$x^{7} + 21 x^{6} + 189 x^{5} + 945 x^{4} + 35 x^{3} \cdot 81 + 21 {(x)}^{2} {(3)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(3)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{7}$

Этап 4.11

Умножим $81$ на $35$ .

$x^{7} + 21 x^{6} + 189 x^{5} + 945 x^{4} + 2835 x^{3} + 21 {(x)}^{2} {(3)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(3)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{7}$

Этап 4.12

Возведем $3$ в степень $5$ .

$x^{7} + 21 x^{6} + 189 x^{5} + 945 x^{4} + 2835 x^{3} + 21 x^{2} \cdot 243 + 7 {(x)}^{1} {(3)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{7}$

Этап 4.13

Умножим $243$ на $21$ .

$x^{7} + 21 x^{6} + 189 x^{5} + 945 x^{4} + 2835 x^{3} + 5103 x^{2} + 7 {(x)}^{1} {(3)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{7}$

Этап 4.14

Упростим.

$x^{7} + 21 x^{6} + 189 x^{5} + 945 x^{4} + 2835 x^{3} + 5103 x^{2} + 7 x {(3)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{7}$

Этап 4.15

Возведем $3$ в степень $6$ .

$x^{7} + 21 x^{6} + 189 x^{5} + 945 x^{4} + 2835 x^{3} + 5103 x^{2} + 7 x \cdot 729 + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{7}$

Этап 4.16

Умножим $729$ на $7$ .

$x^{7} + 21 x^{6} + 189 x^{5} + 945 x^{4} + 2835 x^{3} + 5103 x^{2} + 5103 x + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{7}$

Этап 4.17

Умножим ${(x)}^{0}$ на $1$ .

$x^{7} + 21 x^{6} + 189 x^{5} + 945 x^{4} + 2835 x^{3} + 5103 x^{2} + 5103 x + {(x)}^{0} {(3)}^{7}$

Этап 4.18

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x^{7} + 21 x^{6} + 189 x^{5} + 945 x^{4} + 2835 x^{3} + 5103 x^{2} + 5103 x + 1 {(3)}^{7}$

Этап 4.19

Умножим ${(3)}^{7}$ на $1$ .

$x^{7} + 21 x^{6} + 189 x^{5} + 945 x^{4} + 2835 x^{3} + 5103 x^{2} + 5103 x + {(3)}^{7}$

Этап 4.20

Возведем $3$ в степень $7$ .

$x^{7} + 21 x^{6} + 189 x^{5} + 945 x^{4} + 2835 x^{3} + 5103 x^{2} + 5103 x + 2187$