Алгебра Примеры

$2 + \sqrt[3]{x - 1}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = 2 + \sqrt[3]{y - 1}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $2 + \sqrt[3]{y - 1} = x$ .

$2 + \sqrt[3]{y - 1} = x$

Этап 2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt[3]{y - 1} = x - 2$

Этап 2.3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${\sqrt[3]{y - 1}}^{3} = {(x - 2)}^{3}$

Этап 2.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{y - 1}$ в виде ${(y - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(y - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x - 2)}^{3}$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим ${({(y - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(y - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 2)}^{3}$

Этап 2.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(y - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 2)}^{3}$

Этап 2.4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(y - 1)}^{1} = {(x - 2)}^{3}$

Этап 2.4.2.1.2

Упростим.

$y - 1 = {(x - 2)}^{3}$

Этап 2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Упростим ${(x - 2)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$y - 1 = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 2 + 3 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Этап 2.4.3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.2.1

Умножим $- 2$ на $3$ .

$y - 1 = x^{3} - 6 x^{2} + 3 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Этап 2.4.3.1.2.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$y - 1 = x^{3} - 6 x^{2} + 3 x \cdot 4 + {(- 2)}^{3}$

Этап 2.4.3.1.2.3

Умножим $4$ на $3$ .

$y - 1 = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + {(- 2)}^{3}$

Этап 2.4.3.1.2.4

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$y - 1 = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$

Этап 2.5

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8 + 1$

Этап 2.5.2

Добавим $- 8$ и $1$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 7$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 7$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 7$ обратной к $f (x) = 2 + \sqrt[3]{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (2 + \sqrt[3]{x - 1})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt[3]{x - 1}) = {(2 + \sqrt[3]{x - 1})}^{3} - 6 {(2 + \sqrt[3]{x - 1})}^{2} + 12 (2 + \sqrt[3]{x - 1}) - 7$

Этап 4.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$f^{- 1} (2 + \sqrt[3]{x - 1}) = 2^{3} + 3 \cdot (2^{2} \sqrt[3]{x - 1}) + 3 \cdot (2 {\sqrt[3]{x - 1}}^{2}) + {\sqrt[3]{x - 1}}^{3} - 6 {(2 + \sqrt[3]{x - 1})}^{2} + 12 (2 + \sqrt[3]{x - 1}) - 7$

Этап 4.2.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt[3]{x - 1}) = 8 + 3 \cdot (2^{2} \sqrt[3]{x - 1}) + 3 \cdot (2 {\sqrt[3]{x - 1}}^{2}) + {\sqrt[3]{x - 1}}^{3} - 6 {(2 + \sqrt[3]{x - 1})}^{2} + 12 (2 + \sqrt[3]{x - 1}) - 7$

Этап 4.2.3.2.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt[3]{x - 1}) = 8 + 3 \cdot (4 \sqrt[3]{x - 1}) + 3 \cdot (2 {\sqrt[3]{x - 1}}^{2}) + {\sqrt[3]{x - 1}}^{3} - 6 {(2 + \sqrt[3]{x - 1})}^{2} + 12 (2 + \sqrt[3]{x - 1}) - 7$

Этап 4.2.3.2.3

Умножим $3$ на $4$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt[3]{x - 1}) = 8 + 12 \sqrt[3]{x - 1} + 3 \cdot (2 {\sqrt[3]{x - 1}}^{2}) + {\sqrt[3]{x - 1}}^{3} - 6 {(2 + \sqrt[3]{x - 1})}^{2} + 12 (2 + \sqrt[3]{x - 1}) - 7$

Этап 4.2.3.2.4

Умножим $3$ на $2$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt[3]{x - 1}) = 8 + 12 \sqrt[3]{x - 1} + 6 {\sqrt[3]{x - 1}}^{2} + {\sqrt[3]{x - 1}}^{3} - 6 {(2 + \sqrt[3]{x - 1})}^{2} + 12 (2 + \sqrt[3]{x - 1}) - 7$

Этап 4.2.3.2.5

Перепишем ${\sqrt[3]{x - 1}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt[3]{x - 1}) = 8 + 12 \sqrt[3]{x - 1} + 6 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}} + {\sqrt[3]{x - 1}}^{3} - 6 {(2 + \sqrt[3]{x - 1})}^{2} + 12 (2 + \sqrt[3]{x - 1}) - 7$

Этап 4.2.3.2.6

Перепишем ${\sqrt[3]{x - 1}}^{3}$ в виде $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x - 1}$ в виде ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt[3]{x - 1}) = 8 + 12 \sqrt[3]{x - 1} + 6 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}} + {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} - 6 {(2 + \sqrt[3]{x - 1})}^{2} + 12 (2 + \sqrt[3]{x - 1}) - 7$

Этап 4.2.3.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt[3]{x - 1}) = 8 + 12 \sqrt[3]{x - 1} + 6 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}} + {(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 6 {(2 + \sqrt[3]{x - 1})}^{2} + 12 (2 + \sqrt[3]{x - 1}) - 7$

Этап 4.2.3.2.6.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt[3]{x - 1}) = 8 + 12 \sqrt[3]{x - 1} + 6 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}} + {(x - 1)}^{\frac{3}{3}} - 6 {(2 + \sqrt[3]{x - 1})}^{2} + 12 (2 + \sqrt[3]{x - 1}) - 7$

Этап 4.2.3.2.6.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (2 + \sqrt[3]{x - 1}) = 8 + 12 \sqrt[3]{x - 1} + 6 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}} + {(x - 1)}^{\frac{3}{3}} - 6 {(2 + \sqrt[3]{x - 1})}^{2} + 12 (2 + \sqrt[3]{x - 1}) - 7$

Этап 4.2.3.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (2 + \sqrt[3]{x - 1}) = 8 + 12 \sqrt[3]{x - 1} + 6 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}} + x - 1 - 6 {(2 + \sqrt[3]{x - 1})}^{2} + 12 (2 + \sqrt[3]{x - 1}) - 7$

Этап 4.2.3.2.6.5

Упростим.

$f^{- 1} (2 + \sqrt[3]{x - 1}) = 8 + 12 \sqrt[3]{x - 1} + 6 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}} + x - 1 - 6 {(2 + \sqrt[3]{x - 1})}^{2} + 12 (2 + \sqrt[3]{x - 1}) - 7$

Этап 4.2.3.3

Вычтем $1$ из $8$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt[3]{x - 1}) = 7 + 12 \sqrt[3]{x - 1} + 6 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}} + x - 6 {(2 + \sqrt[3]{x - 1})}^{2} + 12 (2 + \sqrt[3]{x - 1}) - 7$

Этап 4.2.3.4

Перепишем ${(2 + \sqrt[3]{x - 1})}^{2}$ в виде $(2 + \sqrt[3]{x - 1}) (2 + \sqrt[3]{x - 1})$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt[3]{x - 1}) = 7 + 12 \sqrt[3]{x - 1} + 6 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}} + x - 6 ((2 + \sqrt[3]{x - 1}) (2 + \sqrt[3]{x - 1})) + 12 (2 + \sqrt[3]{x - 1}) - 7$

Этап 4.2.3.5

Развернем $(2 + \sqrt[3]{x - 1}) (2 + \sqrt[3]{x - 1})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (2 + \sqrt[3]{x - 1}) = 7 + 12 \sqrt[3]{x - 1} + 6 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}} + x - 6 (2 (2 + \sqrt[3]{x - 1}) + \sqrt[3]{x - 1} (2 + \sqrt[3]{x - 1})) + 12 (2 + \sqrt[3]{x - 1}) - 7$

Этап 4.2.3.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (2 + \sqrt[3]{x - 1}) = 7 + 12 \sqrt[3]{x - 1} + 6 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}} + x - 6 (2 \cdot 2 + 2 \sqrt[3]{x - 1} + \sqrt[3]{x - 1} (2 + \sqrt[3]{x - 1})) + 12 (2 + \sqrt[3]{x - 1}) - 7$

Этап 4.2.3.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (2 + \sqrt[3]{x - 1}) = 7 + 12 \sqrt[3]{x - 1} + 6 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}} + x - 6 (2 \cdot 2 + 2 \sqrt[3]{x - 1} + \sqrt[3]{x - 1} \cdot 2 + \sqrt[3]{x - 1} \sqrt[3]{x - 1}) + 12 (2 + \sqrt[3]{x - 1}) - 7$

Этап 4.2.3.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.6.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt[3]{x - 1}) = 7 + 12 \sqrt[3]{x - 1} + 6 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}} + x - 6 (4 + 2 \sqrt[3]{x - 1} + \sqrt[3]{x - 1} \cdot 2 + \sqrt[3]{x - 1} \sqrt[3]{x - 1}) + 12 (2 + \sqrt[3]{x - 1}) - 7$

Этап 4.2.3.6.1.2

Перенесем $2$ влево от $\sqrt[3]{x - 1}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt[3]{x - 1}) = 7 + 12 \sqrt[3]{x - 1} + 6 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}} + x - 6 (4 + 2 \sqrt[3]{x - 1} + 2 \sqrt[3]{x - 1} + \sqrt[3]{x - 1} \sqrt[3]{x - 1}) + 12 (2 + \sqrt[3]{x - 1}) - 7$

Этап 4.2.3.6.1.3

Умножим $\sqrt[3]{x - 1} \sqrt[3]{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.6.1.3.1

Возведем $\sqrt[3]{x - 1}$ в степень $1$ .

Этап 4.2.3.6.1.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{- 1} (2 + \sqrt[3]{x - 1}) = 7 + 12 \sqrt[3]{x - 1} + 6 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}} + x - 6 (4 + 2 \sqrt[3]{x - 1} + 2 \sqrt[3]{x - 1} + {\sqrt[3]{x - 1}}^{1 + 1}) + 12 (2 + \sqrt[3]{x - 1}) - 7$

Этап 4.2.3.6.1.3.3

Добавим $1$ и $1$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt[3]{x - 1}) = 7 + 12 \sqrt[3]{x - 1} + 6 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}} + x - 6 (4 + 2 \sqrt[3]{x - 1} + 2 \sqrt[3]{x - 1} + {\sqrt[3]{x - 1}}^{2}) + 12 (2 + \sqrt[3]{x - 1}) - 7$

Этап 4.2.3.6.1.4

Перепишем ${\sqrt[3]{x - 1}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt[3]{x - 1}) = 7 + 12 \sqrt[3]{x - 1} + 6 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}} + x - 6 (4 + 2 \sqrt[3]{x - 1} + 2 \sqrt[3]{x - 1} + \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}) + 12 (2 + \sqrt[3]{x - 1}) - 7$

Этап 4.2.3.6.2

Добавим $2 \sqrt[3]{x - 1}$ и $2 \sqrt[3]{x - 1}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt[3]{x - 1}) = 7 + 12 \sqrt[3]{x - 1} + 6 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}} + x - 6 (4 + 4 \sqrt[3]{x - 1} + \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}) + 12 (2 + \sqrt[3]{x - 1}) - 7$

Этап 4.2.3.7

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (2 + \sqrt[3]{x - 1}) = 7 + 12 \sqrt[3]{x - 1} + 6 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}} + x - 6 \cdot 4 - 6 (4 \sqrt[3]{x - 1}) - 6 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}} + 12 (2 + \sqrt[3]{x - 1}) - 7$

Этап 4.2.3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.8.1

Умножим $- 6$ на $4$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt[3]{x - 1}) = 7 + 12 \sqrt[3]{x - 1} + 6 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}} + x - 24 - 6 (4 \sqrt[3]{x - 1}) - 6 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}} + 12 (2 + \sqrt[3]{x - 1}) - 7$

Этап 4.2.3.8.2

Умножим $4$ на $- 6$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt[3]{x - 1}) = 7 + 12 \sqrt[3]{x - 1} + 6 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}} + x - 24 - 24 \sqrt[3]{x - 1} - 6 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}} + 12 (2 + \sqrt[3]{x - 1}) - 7$

Этап 4.2.3.9

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (2 + \sqrt[3]{x - 1}) = 7 + 12 \sqrt[3]{x - 1} + 6 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}} + x - 24 - 24 \sqrt[3]{x - 1} - 6 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}} + 12 \cdot 2 + 12 \sqrt[3]{x - 1} - 7$

Этап 4.2.3.10

Умножим $12$ на $2$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt[3]{x - 1}) = 7 + 12 \sqrt[3]{x - 1} + 6 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}} + x - 24 - 24 \sqrt[3]{x - 1} - 6 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}} + 24 + 12 \sqrt[3]{x - 1} - 7$

Этап 4.2.4

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Объединим противоположные члены в $7 + 12 \sqrt[3]{x - 1} + 6 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}} + x - 24 - 24 \sqrt[3]{x - 1} - 6 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}} + 24 + 12 \sqrt[3]{x - 1} - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1.1

Вычтем $6 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}$ из $6 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt[3]{x - 1}) = 7 + 12 \sqrt[3]{x - 1} + 0 + x - 24 - 24 \sqrt[3]{x - 1} + 24 + 12 \sqrt[3]{x - 1} - 7$

Этап 4.2.4.1.2

Добавим $7 + 12 \sqrt[3]{x - 1}$ и $0$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt[3]{x - 1}) = 7 + 12 \sqrt[3]{x - 1} + x - 24 - 24 \sqrt[3]{x - 1} + 24 + 12 \sqrt[3]{x - 1} - 7$

Этап 4.2.4.1.3

Добавим $- 24$ и $24$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt[3]{x - 1}) = 7 + 12 \sqrt[3]{x - 1} + x + 0 - 24 \sqrt[3]{x - 1} + 12 \sqrt[3]{x - 1} - 7$

Этап 4.2.4.1.4

Добавим $7 + 12 \sqrt[3]{x - 1} + x$ и $0$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt[3]{x - 1}) = 7 + 12 \sqrt[3]{x - 1} + x - 24 \sqrt[3]{x - 1} + 12 \sqrt[3]{x - 1} - 7$

Этап 4.2.4.1.5

Вычтем $7$ из $7$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt[3]{x - 1}) = 0 + 12 \sqrt[3]{x - 1} + x - 24 \sqrt[3]{x - 1} + 12 \sqrt[3]{x - 1}$

Этап 4.2.4.1.6

Добавим $0$ и $12 \sqrt[3]{x - 1}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt[3]{x - 1}) = 12 \sqrt[3]{x - 1} + x - 24 \sqrt[3]{x - 1} + 12 \sqrt[3]{x - 1}$

Этап 4.2.4.2

Вычтем $24 \sqrt[3]{x - 1}$ из $12 \sqrt[3]{x - 1}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt[3]{x - 1}) = x - 12 \sqrt[3]{x - 1} + 12 \sqrt[3]{x - 1}$

Этап 4.2.4.3

Объединим противоположные члены в $x - 12 \sqrt[3]{x - 1} + 12 \sqrt[3]{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.3.1

Добавим $- 12 \sqrt[3]{x - 1}$ и $12 \sqrt[3]{x - 1}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt[3]{x - 1}) = x + 0$

Этап 4.2.4.3.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt[3]{x - 1}) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 7)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 7) = 2 + \sqrt[3]{(x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 7) - 1}$

Этап 4.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вычтем $1$ из $- 7$ .

$f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 7) = 2 + \sqrt[3]{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}$

Этап 4.3.3.2

Перепишем $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Разложим $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Этап 4.3.3.2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Этап 4.3.3.2.1.3

Подставим $2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1.3.1

Подставим $2$ в многочлен.

$2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

Этап 4.3.3.2.1.3.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$8 - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

Этап 4.3.3.2.1.3.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$8 - 6 \cdot 4 + 12 \cdot 2 - 8$

Этап 4.3.3.2.1.3.4

Умножим $- 6$ на $4$ .

$8 - 24 + 12 \cdot 2 - 8$

Этап 4.3.3.2.1.3.5

Вычтем $24$ из $8$ .

$- 16 + 12 \cdot 2 - 8$

Этап 4.3.3.2.1.3.6

Умножим $12$ на $2$ .

$- 16 + 24 - 8$

Этап 4.3.3.2.1.3.7

Добавим $- 16$ и $24$ .

$8 - 8$

Этап 4.3.3.2.1.3.8

Вычтем $8$ из $8$ .

$0$

Этап 4.3.3.2.1.4

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}{x - 2}$

Этап 4.3.3.2.1.5

Разделим $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ на $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$12 x$

$8$

Этап 4.3.3.2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$

Этап 4.3.3.2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 4.3.3.2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 4.3.3.2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Этап 4.3.3.2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$

Этап 4.3.3.2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$

Этап 4.3.3.2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$

Этап 4.3.3.2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 x^{2} + 8 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$

Этап 4.3.3.2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$

Этап 4.3.3.2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$

Этап 4.3.3.2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$

Этап 4.3.3.2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							+	$4 x$	-	$8$

Этап 4.3.3.2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x - 8$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							-	$4 x$	+	$8$

Этап 4.3.3.2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							-	$4 x$	+	$8$
										$0$

Этап 4.3.3.2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 4 x + 4$

Этап 4.3.3.2.1.6

Запишем $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ в виде набора множителей.

$f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 7) = 2 + \sqrt[3]{(x - 2) (x^{2} - 4 x + 4)}$

Этап 4.3.3.2.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 7) = 2 + \sqrt[3]{(x - 2) (x^{2} - 4 x + 2^{2})}$

Этап 4.3.3.2.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Этап 4.3.3.2.2.3

Перепишем многочлен.

$f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 7) = 2 + \sqrt[3]{(x - 2) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})}$

Этап 4.3.3.2.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 7) = 2 + \sqrt[3]{(x - 2) {(x - 2)}^{2}}$

Этап 4.3.3.2.3

Объединим подобные множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.3.1

Возведем $x - 2$ в степень $1$ .

$f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 7) = 2 + \sqrt[3]{(x - 2) {(x - 2)}^{2}}$

Этап 4.3.3.2.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 7) = 2 + \sqrt[3]{{(x - 2)}^{1 + 2}}$

Этап 4.3.3.2.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 7) = 2 + \sqrt[3]{{(x - 2)}^{3}}$

Этап 4.3.3.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 7) = 2 + x - 2$

Этап 4.3.4

Объединим противоположные члены в $2 + x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 7) = x + 0$

Этап 4.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 7) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 7$ — обратная к $f (x) = 2 + \sqrt[3]{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 7$