Алгебра Примеры

$8 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x - 1 = 0$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{8}$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

$8 {(- \frac{1}{4})}^{3} - 10 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = - \frac{1}{4}$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{4}$ .

$8 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{4})}^{3}) - 10 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Этап 4.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{4}$ .

$8 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{4^{3}}) - 10 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Этап 4.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$8 (- \frac{1^{3}}{4^{3}}) - 10 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Этап 4.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$8 (- \frac{1}{4^{3}}) - 10 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Этап 4.1.4

Возведем $4$ в степень $3$ .

$8 (- \frac{1}{64}) - 10 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Этап 4.1.5

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{64}$ в числитель.

$8 (\frac{- 1}{64}) - 10 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Этап 4.1.5.2

Вынесем множитель $8$ из $64$ .

$8 \frac{- 1}{8 (8)} - 10 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Этап 4.1.5.3

Сократим общий множитель.

$8 \frac{- 1}{8 \cdot 8} - 10 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Этап 4.1.5.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{8} - 10 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Этап 4.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{8} - 10 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Этап 4.1.7

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{8} - 10 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2}) - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Этап 4.1.7.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{8} - 10 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{4^{2}}) - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Этап 4.1.8

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- \frac{1}{8} - 10 (1 \frac{1^{2}}{4^{2}}) - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Этап 4.1.9

Умножим $\frac{1^{2}}{4^{2}}$ на $1$ .

$- \frac{1}{8} - 10 \frac{1^{2}}{4^{2}} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Этап 4.1.10

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{1}{8} - 10 \frac{1}{4^{2}} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Этап 4.1.11

Возведем $4$ в степень $2$ .

$- \frac{1}{8} - 10 (\frac{1}{16}) - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Этап 4.1.12

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.12.1

Вынесем множитель $2$ из $- 10$ .

$- \frac{1}{8} + 2 (- 5) \frac{1}{16} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Этап 4.1.12.2

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$- \frac{1}{8} + 2 \cdot - 5 \frac{1}{2 \cdot 8} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Этап 4.1.12.3

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{8} + 2 \cdot - 5 \frac{1}{2 \cdot 8} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Этап 4.1.12.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{8} - 5 (\frac{1}{8}) - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Этап 4.1.13

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{- 5}{8} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Этап 4.1.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{8} - \frac{5}{8} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Этап 4.1.15

Умножим $- 7 (- \frac{1}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.15.1

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$- \frac{1}{8} - \frac{5}{8} + 7 (\frac{1}{4}) - 1$

Этап 4.1.15.2

Объединим $7$ и $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{8} - \frac{5}{8} + \frac{7}{4} - 1$

Этап 4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 1 + \frac{- 1 - 5}{8} + \frac{7}{4}$

Этап 4.2.2

Вычтем $5$ из $- 1$ .

$- 1 + \frac{- 6}{8} + \frac{7}{4}$

Этап 4.3

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Запишем $- 1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{- 1}{1} + \frac{- 6}{8} + \frac{7}{4}$

Этап 4.3.2

Умножим $\frac{- 1}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{7}{4}$

Этап 4.3.3

Умножим $\frac{- 1}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 1 \cdot 8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{7}{4}$

Этап 4.3.4

Умножим $\frac{7}{4}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{7}{4} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 4.3.5

Умножим $\frac{7}{4}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{7 \cdot 2}{4 \cdot 2}$

Этап 4.3.6

Изменим порядок множителей в $4 \cdot 2$ .

$\frac{- 1 \cdot 8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{7 \cdot 2}{2 \cdot 4}$

Этап 4.3.7

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{- 1 \cdot 8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{7 \cdot 2}{8}$

Этап 4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 1 \cdot 8 - 6 + 7 \cdot 2}{8}$

Этап 4.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{- 8 - 6 + 7 \cdot 2}{8}$

Этап 4.5.2

Умножим $7$ на $2$ .

$\frac{- 8 - 6 + 14}{8}$

Этап 4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вычтем $6$ из $- 8$ .

$\frac{- 14 + 14}{8}$

Этап 4.6.2

Добавим $- 14$ и $14$ .

$\frac{0}{8}$

Этап 4.6.3

Разделим $0$ на $8$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $- \frac{1}{4}$ — известный корень, разделим многочлен на $x + \frac{1}{4}$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{8 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x - 1}{x + \frac{1}{4}}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- \frac{1}{4}$	$8$	$- 10$	$- 7$	$- 1$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(8)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- \frac{1}{4}$	$8$	$- 10$	$- 7$	$- 1$

	$8$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(8)$ на делитель $(- \frac{1}{4})$ и запишем их произведение $(- 2)$ под следующим членом делимого $(- 10)$ .

$- \frac{1}{4}$	$8$	$- 10$	$- 7$	$- 1$
		$- 2$
	$8$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{1}{4}$	$8$	$- 10$	$- 7$	$- 1$
		$- 2$
	$8$	$- 12$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 12)$ на делитель $(- \frac{1}{4})$ и запишем их произведение $(3)$ под следующим членом делимого $(- 7)$ .

$- \frac{1}{4}$	$8$	$- 10$	$- 7$	$- 1$
		$- 2$	$3$
	$8$	$- 12$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{1}{4}$	$8$	$- 10$	$- 7$	$- 1$
		$- 2$	$3$
	$8$	$- 12$	$- 4$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(- 4)$ на делитель $(- \frac{1}{4})$ и запишем их произведение $(1)$ под следующим членом делимого $(- 1)$ .

$- \frac{1}{4}$	$8$	$- 10$	$- 7$	$- 1$
		$- 2$	$3$	$1$
	$8$	$- 12$	$- 4$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{1}{4}$	$8$	$- 10$	$- 7$	$- 1$
		$- 2$	$3$	$1$
	$8$	$- 12$	$- 4$	$0$

Этап 6.9

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$8 x^{2} + - 12 x - 4$

Этап 6.10

Упростим частное многочленов.

$8 x^{2} - 12 x - 4$

Этап 7

Вынесем множитель $4$ из $8 x^{2} - 12 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $4$ из $8 x^{2}$ .

$(x + \frac{1}{4}) (4 (2 x^{2}) - 12 x - 4)$

Этап 7.2

Вынесем множитель $4$ из $- 12 x$ .

$(x + \frac{1}{4}) (4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) - 4)$

Этап 7.3

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$(x + \frac{1}{4}) (4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 (- 1))$

Этап 7.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x)$ .

$(x + \frac{1}{4}) (4 (2 x^{2} - 3 x) + 4 (- 1))$

Этап 7.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (2 x^{2} - 3 x) + 4 (- 1)$ .

$(x + \frac{1}{4}) (4 (2 x^{2} - 3 x - 1))$

Этап 8

Разложим $8 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x - 1$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Этап 8.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.125, \pm 0.5, \pm 0.25$

Этап 8.3

Подставим $- 0.25$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 0.25$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Подставим $- 0.25$ в многочлен.

$8 {(- 0.25)}^{3} - 10 {(- 0.25)}^{2} - 7 \cdot - 0.25 - 1$

Этап 8.3.2

Возведем $- 0.25$ в степень $3$ .

$8 \cdot - 0.015625 - 10 {(- 0.25)}^{2} - 7 \cdot - 0.25 - 1$

Этап 8.3.3

Умножим $8$ на $- 0.015625$ .

$- 0.125 - 10 {(- 0.25)}^{2} - 7 \cdot - 0.25 - 1$

Этап 8.3.4

Возведем $- 0.25$ в степень $2$ .

$- 0.125 - 10 \cdot 0.0625 - 7 \cdot - 0.25 - 1$

Этап 8.3.5

Умножим $- 10$ на $0.0625$ .

$- 0.125 - 0.625 - 7 \cdot - 0.25 - 1$

Этап 8.3.6

Вычтем $0.625$ из $- 0.125$ .

$- 0.75 - 7 \cdot - 0.25 - 1$

Этап 8.3.7

Умножим $- 7$ на $- 0.25$ .

$- 0.75 + 1.75 - 1$

Этап 8.3.8

Добавим $- 0.75$ и $1.75$ .

$1 - 1$

Этап 8.3.9

Вычтем $1$ из $1$ .

$0$

Этап 8.4

Поскольку $- 0.25$ — известный корень, разделим многочлен на $4 x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{8 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x - 1}{4 x + 1}$

Этап 8.5

Разделим $8 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x - 1$ на $4 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$4 x$

$1$

$8 x^{3}$

$10 x^{2}$

$7 x$

$1$

Этап 8.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $8 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $4 x$ .

					$2 x^{2}$
	$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$

Этап 8.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			+	$8 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 8.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $8 x^{3} + 2 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 8.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$

Этап 8.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$

Этап 8.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 12 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $4 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$

Этап 8.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$3 x$

Этап 8.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 12 x^{2} - 3 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$

Этап 8.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$

Этап 8.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	-	$1$

Этап 8.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 x$ на член с максимальной степенью в делителе $4 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	-	$1$

Этап 8.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	-	$1$
							-	$4 x$	-	$1$

Этап 8.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 x - 1$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	-	$1$
							+	$4 x$	+	$1$

Этап 8.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	-	$1$
							+	$4 x$	+	$1$
										$0$

Этап 8.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$2 x^{2} - 3 x - 1$

Этап 8.6

Запишем $8 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x - 1$ в виде набора множителей.

$(4 x + 1) (2 x^{2} - 3 x - 1) = 0$

Этап 9

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 x + 1 = 0$

$2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

Этап 10

Приравняем $4 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $4 x + 1$ к $0$ .

$4 x + 1 = 0$

Этап 10.2

Решим $4 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$4 x = - 1$

Этап 10.2.2

Разделим каждый член $4 x = - 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = - 1$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Этап 10.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Этап 10.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Этап 10.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{4}$

Этап 11

Приравняем $2 x^{2} - 3 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $2 x^{2} - 3 x - 1$ к $0$ .

$2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

Этап 11.2

Решим $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 11.2.2

Подставим значения $a = 2$ , $b = - 3$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2.3.1.2.2

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2.3.1.3

Добавим $9$ и $8$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Этап 11.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2.4.1.2.2

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2.4.1.3

Добавим $9$ и $8$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Этап 11.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

Этап 11.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2.5.1.2.2

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2.5.1.3

Добавим $9$ и $8$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Этап 11.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Этап 11.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Этап 12

Окончательным решением являются все значения, при которых $(4 x + 1) (2 x^{2} - 3 x - 1) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{4}, \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{1}{4}, \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Десятичная форма:

$x = - 0.25, 1.78077640 \dots, - 0.28077640 \dots$

Этап 14