Алгебра Примеры

\sqrt{x^{3} + 1}

$\sqrt{x^{3} + 1}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в

\sqrt{x^{3} + 1}

$\sqrt{x^{3} + 1}$ большим или равным

0

$0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

x^{3} + 1 \geq 0

$x^{3} + 1 \geq 0$

Этап 2

Решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем

1

$1$ из обеих частей неравенства.

x^{3} \geq - 1

$x^{3} \geq - 1$

Этап 2.2

Добавим

1

$1$ к обеим частям неравенства.

x^{3} + 1 \geq 0

$x^{3} + 1 \geq 0$

Этап 2.3

Преобразуем неравенство в уравнение.

x^{3} + 1 = 0

$x^{3} + 1 = 0$

Этап 2.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем

1

$1$ в виде

1^{3}

$1^{3}$ .

x^{3} + 1^{3} = 0

$x^{3} + 1^{3} = 0$

Этап 2.4.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов,

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где

a = x

$a = x$ и

b = 1

$b = 1$ .

(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) = 0

$(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 2.4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Умножим

- 1

$- 1$ на

1

$1$ .

(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}) = 0

$(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}) = 0$

Этап 2.4.3.2

Единица в любой степени равна единице.

(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

Этап 2.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен

0

$0$ , все выражение равно

0

$0$ .

x + 1 = 0

$x + 1 = 0$

x^{2} - x + 1 = 0

$x^{2} - x + 1 = 0$

Этап 2.6

Приравняем

x + 1

$x + 1$ к

0

$0$ , затем решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем

x + 1

$x + 1$ к

0

$0$ .

x + 1 = 0

$x + 1 = 0$

Этап 2.6.2

Вычтем

1

$1$ из обеих частей уравнения.

x = - 1

$x = - 1$

x = - 1

$x = - 1$

Этап 2.7

Приравняем

x^{2} - x + 1

$x^{2} - x + 1$ к

0

$0$ , затем решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Приравняем

x^{2} - x + 1

$x^{2} - x + 1$ к

0

$0$ .

x^{2} - x + 1 = 0

$x^{2} - x + 1 = 0$

Этап 2.7.2

Решим

x^{2} - x + 1 = 0

$x^{2} - x + 1 = 0$ относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.7.2.2

Подставим значения

a = 1

$a = 1$ ,

b = - 1

$b = - 1$ и

c = 1

$c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно

x

$x$ .

\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.3.1.1

Возведем

- 1

$- 1$ в степень

2

$2$ .

x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.2.3.1.2

Умножим

- 4 \cdot 1 \cdot 1

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.3.1.2.1

Умножим

- 4

$- 4$ на

1

$1$ .

x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.2.3.1.2.2

Умножим

- 4

$- 4$ на

1

$1$ .

x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.2.3.1.3

Вычтем

4

$4$ из

1

$1$ .

x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.2.3.1.4

Перепишем

- 3

$- 3$ в виде

- 1 (3)

$- 1 (3)$ .

x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.2.3.1.5

Перепишем

\sqrt{- 1 (3)}

$\sqrt{- 1 (3)}$ в виде

\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.2.3.1.6

Перепишем

\sqrt{- 1}

$\sqrt{- 1}$ в виде

i

$i$ .

x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.2.3.2

Умножим

2

$2$ на

1

$1$ .

x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.7.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части

+

$+$ значения

\pm

$\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.4.1.1

Возведем

- 1

$- 1$ в степень

2

$2$ .

x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.2.4.1.2

Умножим

- 4 \cdot 1 \cdot 1

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.4.1.2.1

Умножим

- 4

$- 4$ на

1

$1$ .

x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.2.4.1.2.2

Умножим

- 4

$- 4$ на

1

$1$ .

x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.2.4.1.3

Вычтем

4

$4$ из

1

$1$ .

x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.2.4.1.4

Перепишем

- 3

$- 3$ в виде

- 1 (3)

$- 1 (3)$ .

x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.2.4.1.5

Перепишем

\sqrt{- 1 (3)}

$\sqrt{- 1 (3)}$ в виде

\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.2.4.1.6

Перепишем

\sqrt{- 1}

$\sqrt{- 1}$ в виде

i

$i$ .

x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.2.4.2

Умножим

2

$2$ на

1

$1$ .

x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.7.2.4.3

Заменим

\pm

$\pm$ на

+

$+$ .

x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.7.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части

-

$-$ значения

\pm

$\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.5.1.1

Возведем

- 1

$- 1$ в степень

2

$2$ .

x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.2.5.1.2

Умножим

- 4 \cdot 1 \cdot 1

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.5.1.2.1

Умножим

- 4

$- 4$ на

1

$1$ .

x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.2.5.1.2.2

Умножим

- 4

$- 4$ на

1

$1$ .

x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.2.5.1.3

Вычтем

4

$4$ из

1

$1$ .

x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.2.5.1.4

Перепишем

- 3

$- 3$ в виде

- 1 (3)

$- 1 (3)$ .

x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.2.5.1.5

Перепишем

\sqrt{- 1 (3)}

$\sqrt{- 1 (3)}$ в виде

\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.2.5.1.6

Перепишем

\sqrt{- 1}

$\sqrt{- 1}$ в виде

i

$i$ .

x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.7.2.5.2

Умножим

2

$2$ на

1

$1$ .

x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.7.2.5.3

Заменим

\pm

$\pm$ на

-

$-$ .

x = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}

$x = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

x = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}

$x = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.7.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.8

Окончательным решением являются все значения, при которых

(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$ верно.

x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.9

Определим старший коэффициент.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Старший член многочлена — это член с наивысшим показателем степени.

x^{3}

$x^{3}$

Этап 2.9.2

Старший коэффициент многочлена — это коэффициент его старшего члена.

1

$1$

1

$1$

Этап 2.10

Поскольку реальные пересечения с осью X отсутствуют и старший коэффициент положителен, концы параболы направлены вверх, и

x^{3} + 1

$x^{3} + 1$ всегда больше

0

$0$ .

Все вещественные числа

Этап 3

Область определения ― все вещественные числа.

Интервальное представление:

(- \infty, \infty)

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 4