Алгебра Примеры

$x^{3} + 6 x^{2} - 32$

Этап 1

Приравняем $x^{3} + 6 x^{2} - 32$ к $0$ .

$x^{3} + 6 x^{2} - 32 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Разложим $x^{3} + 6 x^{2} - 32$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Этап 2.1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

Этап 2.1.1.3

Подставим $2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Подставим $2$ в многочлен.

$2^{3} + 6 \cdot 2^{2} - 32$

Этап 2.1.1.3.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$8 + 6 \cdot 2^{2} - 32$

Этап 2.1.1.3.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$8 + 6 \cdot 4 - 32$

Этап 2.1.1.3.4

Умножим $6$ на $4$ .

$8 + 24 - 32$

Этап 2.1.1.3.5

Добавим $8$ и $24$ .

$32 - 32$

Этап 2.1.1.3.6

Вычтем $32$ из $32$ .

$0$

Этап 2.1.1.4

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} - 32}{x - 2}$

Этап 2.1.1.5

Разделим $x^{3} + 6 x^{2} - 32$ на $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$32$

Этап 2.1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$

Этап 2.1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 2.1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 2.1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$

Этап 2.1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$0 x$

Этап 2.1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $8 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$0 x$

Этап 2.1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$16 x$

Этап 2.1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $8 x^{2} - 16 x$ .

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$16 x$

Этап 2.1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$

Этап 2.1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	-	$32$

Этап 2.1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $16 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	-	$32$

Этап 2.1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	-	$32$
							+	$16 x$	-	$32$

Этап 2.1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $16 x - 32$ .

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	-	$32$
							-	$16 x$	+	$32$

Этап 2.1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	+	$0 x$	-	$32$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	-	$32$
							-	$16 x$	+	$32$
										$0$

Этап 2.1.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} + 8 x + 16$

Этап 2.1.1.6

Запишем $x^{3} + 6 x^{2} - 32$ в виде набора множителей.

$(x - 2) (x^{2} + 8 x + 16) = 0$

Этап 2.1.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$(x - 2) (x^{2} + 8 x + 4^{2}) = 0$

Этап 2.1.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Этап 2.1.2.3

Перепишем многочлен.

$(x - 2) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Этап 2.1.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$(x - 2) {(x + 4)}^{2} = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

${(x + 4)}^{2} = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 2.3.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.4

Приравняем ${(x + 4)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем ${(x + 4)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

Этап 2.4.2

Решим ${(x + 4)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 2.4.2.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 2) {(x + 4)}^{2} = 0$ верно. Кратность корня ― это количество появлений этого корня.

$x = 2$ (кратно $1$ )

$x = - 4$ (кратно $2$ )

$x = 2$ (кратно $1$ )

$x = - 4$ (кратно $2$ )

Этап 3