Алгебра Примеры

$3 {(x - 2)}^{2} - {(x - 5)}^{2}$

Этап 1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Изолируем $y$ в левой части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Перепишем ${(x - 5)}^{2}$ в виде $(x - 5) (x - 5)$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - ((x - 5) (x - 5))$

Этап 1.1.1.2

Развернем $(x - 5) (x - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x (x - 5) - 5 (x - 5))$

Этап 1.1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5))$

Этап 1.1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5)$

Этап 1.1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5)$

Этап 1.1.1.3.1.2

Перенесем $- 5$ влево от $x$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5)$

Этап 1.1.1.3.1.3

Умножим $- 5$ на $- 5$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x^{2} - 5 x - 5 x + 25)$

Этап 1.1.1.3.2

Вычтем $5 x$ из $- 5 x$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x^{2} - 10 x + 25)$

Этап 1.1.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - x^{2} - (- 10 x) - 1 \cdot 25$

Этап 1.1.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.1

Умножим $- 10$ на $- 1$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - x^{2} + 10 x - 1 \cdot 25$

Этап 1.1.1.5.2

Умножим $- 1$ на $25$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - x^{2} + 10 x - 25$

Этап 1.1.2

Изменим порядок членов.

$y = - x^{2} + 3 {(x - 2)}^{2} + 10 x - 25$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $- x^{2} + 3 {(x - 2)}^{2} + 10 x - 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.1

Перепишем ${(x - 2)}^{2}$ в виде $(x - 2) (x - 2)$ .

$- x^{2} + 3 ((x - 2) (x - 2)) + 10 x - 25$

Этап 1.2.1.1.2

Развернем $(x - 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{2} + 3 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) + 10 x - 25$

Этап 1.2.1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{2} + 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) + 10 x - 25$

Этап 1.2.1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{2} + 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + 10 x - 25$

Этап 1.2.1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$- x^{2} + 3 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + 10 x - 25$

Этап 1.2.1.1.3.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$- x^{2} + 3 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) + 10 x - 25$

Этап 1.2.1.1.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$- x^{2} + 3 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) + 10 x - 25$

Этап 1.2.1.1.3.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$- x^{2} + 3 (x^{2} - 4 x + 4) + 10 x - 25$

Этап 1.2.1.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{2} + 3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 4 + 10 x - 25$

Этап 1.2.1.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.5.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$- x^{2} + 3 x^{2} - 12 x + 3 \cdot 4 + 10 x - 25$

Этап 1.2.1.1.5.2

Умножим $3$ на $4$ .

$- x^{2} + 3 x^{2} - 12 x + 12 + 10 x - 25$

Этап 1.2.1.2

Добавим $- x^{2}$ и $3 x^{2}$ .

$2 x^{2} - 12 x + 12 + 10 x - 25$

Этап 1.2.1.3

Добавим $- 12 x$ и $10 x$ .

$2 x^{2} - 2 x + 12 - 25$

Этап 1.2.1.4

Вычтем $25$ из $12$ .

$2 x^{2} - 2 x - 13$

Этап 1.2.2

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 2$

$b = - 2$

$c = - 13$

Этап 1.2.3

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.4

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (2)}$

Этап 1.2.4.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.4.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 1}{2}$

Этап 1.2.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = - \frac{1}{2}$

Этап 1.2.5

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 13 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1.1

Сократим общий множитель ${(- 2)}^{2}$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1.1.1

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$e = - 13 - \frac{{(- 1 (2))}^{2}}{4 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.1.1.2

Применим правило умножения к $- 1 (2)$ .

$e = - 13 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 2^{2}}{4 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.1.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$e = - 13 - \frac{1 \cdot 2^{2}}{4 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.1.1.4

Умножим $2^{2}$ на $1$ .

$e = - 13 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.1.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2^{2}$ .

$e = - 13 - \frac{2 \cdot 2}{4 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.1.1.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1.1.6.1

Вынесем множитель $2$ из $4 \cdot 2$ .

$e = - 13 - \frac{2 \cdot 2}{2 (2 \cdot 2)}$

Этап 1.2.5.2.1.1.6.2

Сократим общий множитель.

$e = - 13 - \frac{2 \cdot 2}{2 (2 \cdot 2)}$

Этап 1.2.5.2.1.1.6.3

Перепишем это выражение.

$e = - 13 - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$e = - 13 - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$e = - 13 - \frac{1}{2}$

Этап 1.2.5.2.2

Чтобы записать $- 13$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$e = - 13 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 1.2.5.2.3

Объединим $- 13$ и $\frac{2}{2}$ .

$e = \frac{- 13 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 1.2.5.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$e = \frac{- 13 \cdot 2 - 1}{2}$

Этап 1.2.5.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.5.1

Умножим $- 13$ на $2$ .

$e = \frac{- 26 - 1}{2}$

Этап 1.2.5.2.5.2

Вычтем $1$ из $- 26$ .

$e = \frac{- 27}{2}$

Этап 1.2.5.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e = - \frac{27}{2}$

Этап 1.2.6

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $2 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{27}{2}$ .

$2 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{27}{2}$

Этап 1.3

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = 2 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{27}{2}$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 2$

$h = \frac{1}{2}$

$k = - \frac{27}{2}$

Этап 3

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(\frac{1}{2}, - \frac{27}{2})$

Этап 4