Алгебра Примеры

$y = x^{3} + 3 x^{2} - 6 x - 8$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} + 3 x^{2} - 6 x - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 1.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 6 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} + 6 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 1.3.3

Умножим $- 6$ на $1$ .

$3 x^{2} + 6 x - 6 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} + 6 x - 6 + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $3 x^{2} + 6 x - 6$ и $0$ .

$3 x^{2} + 6 x - 6$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} + 6 x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x + 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 6)$

Этап 2.3.3

Умножим $6$ на $1$ .

$f'' (x) = 6 x + 6 + \frac{d}{d x} (- 6)$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 6 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $6 x + 6$ и $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 6$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$3 x^{2} + 6 x - 6 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 4.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 6 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} + 6 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $- 6$ на $1$ .

$3 x^{2} + 6 x - 6 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} + 6 x - 6 + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $3 x^{2} + 6 x - 6$ и $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x - 6$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 x^{2} + 6 x - 6$ .

$3 x^{2} + 6 x - 6$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} + 6 x - 6 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$3 x^{2} + 6 x - 6 = 0$

Этап 5.2

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} + 6 x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) + 6 x - 6 = 0$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $3$ из $6 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (2 x) - 6 = 0$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot - 2 = 0$

Этап 5.2.4

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} + 3 (2 x)$ .

$3 (x^{2} + 2 x) + 3 \cdot - 2 = 0$

Этап 5.2.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{2} + 2 x) + 3 \cdot - 2$ .

$3 (x^{2} + 2 x - 2) = 0$

Этап 5.3

Разделим каждый член $3 (x^{2} + 2 x - 2) = 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $3 (x^{2} + 2 x - 2) = 0$ на $3$ .

$\frac{3 (x^{2} + 2 x - 2)}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (x^{2} + 2 x - 2)}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $x^{2} + 2 x - 2$ на $1$ .

$x^{2} + 2 x - 2 = \frac{0}{3}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

$x^{2} + 2 x - 2 = 0$

Этап 5.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.5

Подставим значения $a = 1$ , $b = 2$ и $c = - 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.3

Добавим $4$ и $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.6.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{3}$

Этап 5.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.7.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.7.1.3

Добавим $4$ и $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.7.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.7.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.7.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{3}$

Этап 5.7.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = - 1 + \sqrt{3}$

Этап 5.8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.8.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.8.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.8.1.3

Добавим $4$ и $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.8.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.8.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.8.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.8.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.8.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{3}$

Этап 5.8.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = - 1 - \sqrt{3}$

Этап 5.9

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - 1 + \sqrt{3}, - 1 - \sqrt{3}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - 1 + \sqrt{3}, - 1 - \sqrt{3}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - 1 + \sqrt{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$6 (- 1 + \sqrt{3}) + 6$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 \cdot - 1 + 6 \sqrt{3} + 6$

Этап 9.1.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$- 6 + 6 \sqrt{3} + 6$

Этап 9.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $- 6$ и $6$ .

$0 + 6 \sqrt{3}$

Этап 9.2.2

Добавим $0$ и $6 \sqrt{3}$ .

$6 \sqrt{3}$

Этап 10

$x = - 1 + \sqrt{3}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 1 + \sqrt{3}$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = - 1 + \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1 + \sqrt{3}$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = {(- 1 + \sqrt{3})}^{3} + 3 {(- 1 + \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (- 1 + \sqrt{3}) = {(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} \sqrt{3} + 3 \cdot (- 1 {\sqrt{3}}^{2}) + {\sqrt{3}}^{3} + 3 {(- 1 + \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Этап 11.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.2.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 1 + 3 {(- 1)}^{2} \sqrt{3} + 3 \cdot (- 1 {\sqrt{3}}^{2}) + {\sqrt{3}}^{3} + 3 {(- 1 + \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Этап 11.2.1.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 1 + 3 \cdot (1 \sqrt{3}) + 3 \cdot (- 1 {\sqrt{3}}^{2}) + {\sqrt{3}}^{3} + 3 {(- 1 + \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Этап 11.2.1.2.3

Умножим $3$ на $1$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 1 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot (- 1 {\sqrt{3}}^{2}) + {\sqrt{3}}^{3} + 3 {(- 1 + \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Этап 11.2.1.2.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 1 + 3 \sqrt{3} - 3 {\sqrt{3}}^{2} + {\sqrt{3}}^{3} + 3 {(- 1 + \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Этап 11.2.1.2.5

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.2.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 1 + 3 \sqrt{3} - 3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{3}}^{3} + 3 {(- 1 + \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Этап 11.2.1.2.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 1 + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{3}}^{3} + 3 {(- 1 + \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Этап 11.2.1.2.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 1 + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{3}}^{3} + 3 {(- 1 + \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Этап 11.2.1.2.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.2.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 1 + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{3}}^{3} + 3 {(- 1 + \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Этап 11.2.1.2.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 1 + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 3 + {\sqrt{3}}^{3} + 3 {(- 1 + \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Этап 11.2.1.2.5.5

Найдем экспоненту.

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 1 + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 3 + {\sqrt{3}}^{3} + 3 {(- 1 + \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Этап 11.2.1.2.6

Умножим $- 3$ на $3$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 1 + 3 \sqrt{3} - 9 + {\sqrt{3}}^{3} + 3 {(- 1 + \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Этап 11.2.1.2.7

Перепишем ${\sqrt{3}}^{3}$ в виде $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 1 + 3 \sqrt{3} - 9 + \sqrt{3^{3}} + 3 {(- 1 + \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Этап 11.2.1.2.8

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 1 + 3 \sqrt{3} - 9 + \sqrt{27} + 3 {(- 1 + \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Этап 11.2.1.2.9

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.2.9.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 1 + 3 \sqrt{3} - 9 + \sqrt{9 (3)} + 3 {(- 1 + \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Этап 11.2.1.2.9.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 1 + 3 \sqrt{3} - 9 + \sqrt{3^{2} \cdot 3} + 3 {(- 1 + \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Этап 11.2.1.2.10

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 1 + 3 \sqrt{3} - 9 + 3 \sqrt{3} + 3 {(- 1 + \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Этап 11.2.1.3

Вычтем $9$ из $- 1$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 10 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3 {(- 1 + \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Этап 11.2.1.4

Добавим $3 \sqrt{3}$ и $3 \sqrt{3}$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 10 + 6 \sqrt{3} + 3 {(- 1 + \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Этап 11.2.1.5

Перепишем ${(- 1 + \sqrt{3})}^{2}$ в виде $(- 1 + \sqrt{3}) (- 1 + \sqrt{3})$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 10 + 6 \sqrt{3} + 3 ((- 1 + \sqrt{3}) (- 1 + \sqrt{3})) - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Этап 11.2.1.6

Развернем $(- 1 + \sqrt{3}) (- 1 + \sqrt{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 10 + 6 \sqrt{3} + 3 (- 1 (- 1 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- 1 + \sqrt{3})) - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Этап 11.2.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 10 + 6 \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot - 1 - 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (- 1 + \sqrt{3})) - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Этап 11.2.1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 10 + 6 \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot - 1 - 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}) - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Этап 11.2.1.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.7.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 10 + 6 \sqrt{3} + 3 (1 - 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}) - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Этап 11.2.1.7.1.2

Перепишем $- 1 \sqrt{3}$ в виде $- \sqrt{3}$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 10 + 6 \sqrt{3} + 3 (1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}) - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Этап 11.2.1.7.1.3

Перенесем $- 1$ влево от $\sqrt{3}$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 10 + 6 \sqrt{3} + 3 (1 - \sqrt{3} - 1 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Этап 11.2.1.7.1.4

Перепишем $- 1 \sqrt{3}$ в виде $- \sqrt{3}$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 10 + 6 \sqrt{3} + 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Этап 11.2.1.7.1.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 10 + 6 \sqrt{3} + 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}) - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Этап 11.2.1.7.1.6

Умножим $3$ на $3$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 10 + 6 \sqrt{3} + 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{9}) - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Этап 11.2.1.7.1.7

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 10 + 6 \sqrt{3} + 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}) - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Этап 11.2.1.7.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 10 + 6 \sqrt{3} + 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3) - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Этап 11.2.1.7.2

Добавим $1$ и $3$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 10 + 6 \sqrt{3} + 3 (4 - \sqrt{3} - \sqrt{3}) - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Этап 11.2.1.7.3

Вычтем $\sqrt{3}$ из $- \sqrt{3}$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 10 + 6 \sqrt{3} + 3 (4 - 2 \sqrt{3}) - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Этап 11.2.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 10 + 6 \sqrt{3} + 3 \cdot 4 + 3 (- 2 \sqrt{3}) - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Этап 11.2.1.9

Умножим $3$ на $4$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 10 + 6 \sqrt{3} + 12 + 3 (- 2 \sqrt{3}) - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Этап 11.2.1.10

Умножим $- 2$ на $3$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 10 + 6 \sqrt{3} + 12 - 6 \sqrt{3} - 6 (- 1 + \sqrt{3}) - 8$

Этап 11.2.1.11

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 10 + 6 \sqrt{3} + 12 - 6 \sqrt{3} - 6 \cdot - 1 - 6 \sqrt{3} - 8$

Этап 11.2.1.12

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 10 + 6 \sqrt{3} + 12 - 6 \sqrt{3} + 6 - 6 \sqrt{3} - 8$

Этап 11.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Добавим $- 10$ и $12$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = 2 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + 6 - 6 \sqrt{3} - 8$

Этап 11.2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.1

Добавим $2$ и $6$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = 8 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 8$

Этап 11.2.2.2.2

Вычтем $8$ из $8$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = 0 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3}$

Этап 11.2.2.2.3

Добавим $0$ и $6 \sqrt{3}$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3}$

Этап 11.2.2.3

Вычтем $6 \sqrt{3}$ из $6 \sqrt{3}$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = 0 - 6 \sqrt{3}$

Этап 11.2.2.4

Вычтем $6 \sqrt{3}$ из $0$ .

$f (- 1 + \sqrt{3}) = - 6 \sqrt{3}$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $- 6 \sqrt{3}$ .

$y = - 6 \sqrt{3}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - 1 - \sqrt{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$6 (- 1 - \sqrt{3}) + 6$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 \cdot - 1 + 6 (- \sqrt{3}) + 6$

Этап 13.1.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$- 6 + 6 (- \sqrt{3}) + 6$

Этап 13.1.3

Умножим $- 1$ на $6$ .

$- 6 - 6 \sqrt{3} + 6$

Этап 13.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Добавим $- 6$ и $6$ .

$0 - 6 \sqrt{3}$

Этап 13.2.2

Вычтем $6 \sqrt{3}$ из $0$ .

$- 6 \sqrt{3}$

Этап 14

$x = - 1 - \sqrt{3}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 1 - \sqrt{3}$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - 1 - \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1 - \sqrt{3}$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = {(- 1 - \sqrt{3})}^{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (- 1 - \sqrt{3}) = {(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} (- \sqrt{3}) + 3 \cdot (- 1 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 + 3 {(- 1)}^{2} (- \sqrt{3}) + 3 \cdot (- 1 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.2.2

Умножим ${(- 1)}^{2}$ на $- 1$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.2.1

Перенесем $- 1$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 + 3 (- {(- 1)}^{2}) \sqrt{3} + 3 \cdot (- 1 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.2.2.2

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 + 3 ((- 1) {(- 1)}^{2}) \sqrt{3} + 3 \cdot (- 1 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 + 3 {(- 1)}^{1 + 2} \sqrt{3} + 3 \cdot (- 1 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.2.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 + 3 {(- 1)}^{3} \sqrt{3} + 3 \cdot (- 1 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.2.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 + 3 \cdot (- 1 \sqrt{3}) + 3 \cdot (- 1 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.2.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 - 3 \sqrt{3} + 3 \cdot (- 1 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.2.5

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 - 3 \sqrt{3} - 3 {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.2.6

Применим правило умножения к $- \sqrt{3}$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 - 3 \sqrt{3} - 3 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.2.7

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 - 3 \sqrt{3} - 3 (1 {\sqrt{3}}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.2.8

Умножим ${\sqrt{3}}^{2}$ на $1$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 - 3 \sqrt{3} - 3 {\sqrt{3}}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.2.9

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.9.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 - 3 \sqrt{3} - 3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.2.9.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 - 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{3})}^{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.2.9.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 - 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{3})}^{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.2.9.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.9.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 - 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{3})}^{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.2.9.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 - 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 3 + {(- \sqrt{3})}^{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.2.9.5

Найдем экспоненту.

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 - 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 3 + {(- \sqrt{3})}^{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.2.10

Умножим $- 3$ на $3$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 - 3 \sqrt{3} - 9 + {(- \sqrt{3})}^{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.2.11

Применим правило умножения к $- \sqrt{3}$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 - 3 \sqrt{3} - 9 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.2.12

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 - 3 \sqrt{3} - 9 - {\sqrt{3}}^{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.2.13

Перепишем ${\sqrt{3}}^{3}$ в виде $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 - 3 \sqrt{3} - 9 - \sqrt{3^{3}} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.2.14

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 - 3 \sqrt{3} - 9 - \sqrt{27} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.2.15

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.15.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 - 3 \sqrt{3} - 9 - \sqrt{9 (3)} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.2.15.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 - 3 \sqrt{3} - 9 - \sqrt{3^{2} \cdot 3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.2.16

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 - 3 \sqrt{3} - 9 - (3 \sqrt{3}) + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.2.17

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 1 - 3 \sqrt{3} - 9 - 3 \sqrt{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.3

Вычтем $9$ из $- 1$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.4

Вычтем $3 \sqrt{3}$ из $- 3 \sqrt{3}$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 {(- 1 - \sqrt{3})}^{2} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.5

Перепишем ${(- 1 - \sqrt{3})}^{2}$ в виде $(- 1 - \sqrt{3}) (- 1 - \sqrt{3})$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 ((- 1 - \sqrt{3}) (- 1 - \sqrt{3})) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.6

Развернем $(- 1 - \sqrt{3}) (- 1 - \sqrt{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 (- 1 (- 1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 1 - \sqrt{3})) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot - 1 - 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 1 - \sqrt{3})) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot - 1 - 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.7.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 (1 - 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.7.1.2

Умножим $- 1 (- \sqrt{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.7.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 (1 + 1 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot - 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.7.1.2.2

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 (1 + \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot - 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.7.1.3

Умножим $- \sqrt{3} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.7.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 (1 + \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.7.1.3.2

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.7.1.4

Умножим $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.7.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.7.1.4.2

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.7.1.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.7.1.4.4

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.7.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.7.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.7.1.5

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.7.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.7.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.7.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.7.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.7.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.7.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.7.1.5.5

Найдем экспоненту.

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.7.2

Добавим $1$ и $3$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 (4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.7.3

Добавим $\sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 (4 + 2 \sqrt{3}) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 3 \cdot 4 + 3 (2 \sqrt{3}) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.9

Умножим $3$ на $4$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 12 + 3 (2 \sqrt{3}) - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.10

Умножим $2$ на $3$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 12 + 6 \sqrt{3} - 6 (- 1 - \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.11

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 12 + 6 \sqrt{3} - 6 \cdot - 1 - 6 (- \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.12

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 12 + 6 \sqrt{3} + 6 - 6 (- \sqrt{3}) - 8$

Этап 15.2.1.13

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 10 - 6 \sqrt{3} + 12 + 6 \sqrt{3} + 6 + 6 \sqrt{3} - 8$

Этап 15.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Добавим $- 10$ и $12$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = 2 - 6 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 6 + 6 \sqrt{3} - 8$

Этап 15.2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.2.1

Добавим $2$ и $6$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = 8 - 6 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} - 8$

Этап 15.2.2.2.2

Вычтем $8$ из $8$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = 0 - 6 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3}$

Этап 15.2.2.2.3

Вычтем $6 \sqrt{3}$ из $0$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = - 6 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3}$

Этап 15.2.2.3

Добавим $- 6 \sqrt{3}$ и $6 \sqrt{3}$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = 0 + 6 \sqrt{3}$

Этап 15.2.2.4

Добавим $0$ и $6 \sqrt{3}$ .

$f (- 1 - \sqrt{3}) = 6 \sqrt{3}$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ: $6 \sqrt{3}$ .

$y = 6 \sqrt{3}$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 6 x - 8$ .

$(- 1 + \sqrt{3}, - 6 \sqrt{3})$ — локальный минимум

$(- 1 - \sqrt{3}, 6 \sqrt{3})$ — локальный максимум

Этап 17