Алгебра Примеры

$f (x) = 2 x^{4} + 3 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x + 1$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $2 x^{4} + 3 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{4}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2.3

Умножим $4$ на $2$ .

$8 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{3}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$8 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$8 x^{3} + 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.3.3

Умножим $3$ на $3$ .

$8 x^{3} + 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x^{2}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 x^{3} + 9 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$8 x^{3} + 9 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.4.3

Умножим $2$ на $- 6$ .

$8 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.5.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$8 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.6

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$8 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 2 + 0$

Этап 1.6.2

Добавим $8 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 2$ и $0$ .

$8 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 2$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $8 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{3}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $8$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{2}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $9$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + 18 x + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + 18 x - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + 18 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.4.3

Умножим $- 12$ на $1$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + 18 x - 12 + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + 18 x - 12 + 0$

Этап 2.5.2

Добавим $24 x^{2} + 18 x - 12$ и $0$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + 18 x - 12$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$8 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 2 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{4}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $4$ на $2$ .

$8 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{3}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$8 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$8 x^{3} + 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $3$ на $3$ .

$8 x^{3} + 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x^{2}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 x^{3} + 9 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$8 x^{3} + 9 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.4.3

Умножим $2$ на $- 6$ .

$8 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.5.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$8 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.6

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$8 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 2 + 0$

Этап 4.1.6.2

Добавим $8 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 2$ и $0$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 2$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $8 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 2$ .

$8 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 2$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $8 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 2 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$8 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 2 = 0$

Этап 5.2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x \approx - 1.85940185, - 0.15172908, 0.88613093$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - 1.85940185, - 0.15172908, 0.88613093$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - 1.85940185$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$24 {(- 1.85940185)}^{2} + 18 (- 1.85940185) - 12$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведем $- 1.85940185$ в степень $2$ .

$24 \cdot 3.45737524 + 18 (- 1.85940185) - 12$

Этап 9.1.2

Умножим $24$ на $3.45737524$ .

$82.9770058 + 18 (- 1.85940185) - 12$

Этап 9.1.3

Умножим $18$ на $- 1.85940185$ .

$82.9770058 - 33.46923331 - 12$

Этап 9.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем $33.46923331$ из $82.9770058$ .

$49.50777249 - 12$

Этап 9.2.2

Вычтем $12$ из $49.50777249$ .

$37.50777249$

Этап 10

$x = - 1.85940185$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 1.85940185$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = - 1.85940185$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.85940185$ .

$f (- 1.85940185) = 2 {(- 1.85940185)}^{4} + 3 {(- 1.85940185)}^{3} - 6 {(- 1.85940185)}^{2} - 2 \cdot - 1.85940185 + 1$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведем $- 1.85940185$ в степень $4$ .

$f (- 1.85940185) = 2 \cdot 11.95344356 + 3 {(- 1.85940185)}^{3} - 6 {(- 1.85940185)}^{2} - 2 \cdot - 1.85940185 + 1$

Этап 11.2.1.2

Умножим $2$ на $11.95344356$ .

$f (- 1.85940185) = 23.90688712 + 3 {(- 1.85940185)}^{3} - 6 {(- 1.85940185)}^{2} - 2 \cdot - 1.85940185 + 1$

Этап 11.2.1.3

Возведем $- 1.85940185$ в степень $3$ .

$f (- 1.85940185) = 23.90688712 + 3 \cdot - 6.42864992 - 6 {(- 1.85940185)}^{2} - 2 \cdot - 1.85940185 + 1$

Этап 11.2.1.4

Умножим $3$ на $- 6.42864992$ .

$f (- 1.85940185) = 23.90688712 - 19.28594976 - 6 {(- 1.85940185)}^{2} - 2 \cdot - 1.85940185 + 1$

Этап 11.2.1.5

Возведем $- 1.85940185$ в степень $2$ .

$f (- 1.85940185) = 23.90688712 - 19.28594976 - 6 \cdot 3.45737524 - 2 \cdot - 1.85940185 + 1$

Этап 11.2.1.6

Умножим $- 6$ на $3.45737524$ .

$f (- 1.85940185) = 23.90688712 - 19.28594976 - 20.74425145 - 2 \cdot - 1.85940185 + 1$

Этап 11.2.1.7

Умножим $- 2$ на $- 1.85940185$ .

$f (- 1.85940185) = 23.90688712 - 19.28594976 - 20.74425145 + 3.7188037 + 1$

Этап 11.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Вычтем $19.28594976$ из $23.90688712$ .

$f (- 1.85940185) = 4.62093735 - 20.74425145 + 3.7188037 + 1$

Этап 11.2.2.2

Вычтем $20.74425145$ из $4.62093735$ .

$f (- 1.85940185) = - 16.12331409 + 3.7188037 + 1$

Этап 11.2.2.3

Добавим $- 16.12331409$ и $3.7188037$ .

$f (- 1.85940185) = - 12.40451039 + 1$

Этап 11.2.2.4

Добавим $- 12.40451039$ и $1$ .

$f (- 1.85940185) = - 11.40451039$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $- 11.40451039$ .

$y = - 11.40451039$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - 0.15172908$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$24 {(- 0.15172908)}^{2} + 18 (- 0.15172908) - 12$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Возведем $- 0.15172908$ в степень $2$ .

$24 \cdot 0.02302171 + 18 (- 0.15172908) - 12$

Этап 13.1.2

Умножим $24$ на $0.02302171$ .

$0.55252119 + 18 (- 0.15172908) - 12$

Этап 13.1.3

Умножим $18$ на $- 0.15172908$ .

$0.55252119 - 2.73112359 - 12$

Этап 13.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Вычтем $2.73112359$ из $0.55252119$ .

$- 2.1786024 - 12$

Этап 13.2.2

Вычтем $12$ из $- 2.1786024$ .

$- 14.1786024$

Этап 14

$x = - 0.15172908$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 0.15172908$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - 0.15172908$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.15172908$ .

$f (- 0.15172908) = 2 {(- 0.15172908)}^{4} + 3 {(- 0.15172908)}^{3} - 6 {(- 0.15172908)}^{2} - 2 \cdot - 0.15172908 + 1$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Возведем $- 0.15172908$ в степень $4$ .

$f (- 0.15172908) = 2 \cdot 0.00052999 + 3 {(- 0.15172908)}^{3} - 6 {(- 0.15172908)}^{2} - 2 \cdot - 0.15172908 + 1$

Этап 15.2.1.2

Умножим $2$ на $0.00052999$ .

$f (- 0.15172908) = 0.00105999 + 3 {(- 0.15172908)}^{3} - 6 {(- 0.15172908)}^{2} - 2 \cdot - 0.15172908 + 1$

Этап 15.2.1.3

Возведем $- 0.15172908$ в степень $3$ .

$f (- 0.15172908) = 0.00105999 + 3 \cdot - 0.00349306 - 6 {(- 0.15172908)}^{2} - 2 \cdot - 0.15172908 + 1$

Этап 15.2.1.4

Умножим $3$ на $- 0.00349306$ .

$f (- 0.15172908) = 0.00105999 - 0.01047919 - 6 {(- 0.15172908)}^{2} - 2 \cdot - 0.15172908 + 1$

Этап 15.2.1.5

Возведем $- 0.15172908$ в степень $2$ .

$f (- 0.15172908) = 0.00105999 - 0.01047919 - 6 \cdot 0.02302171 - 2 \cdot - 0.15172908 + 1$

Этап 15.2.1.6

Умножим $- 6$ на $0.02302171$ .

$f (- 0.15172908) = 0.00105999 - 0.01047919 - 0.13813029 - 2 \cdot - 0.15172908 + 1$

Этап 15.2.1.7

Умножим $- 2$ на $- 0.15172908$ .

$f (- 0.15172908) = 0.00105999 - 0.01047919 - 0.13813029 + 0.30345817 + 1$

Этап 15.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Вычтем $0.01047919$ из $0.00105999$ .

$f (- 0.15172908) = - 0.00941919 - 0.13813029 + 0.30345817 + 1$

Этап 15.2.2.2

Вычтем $0.13813029$ из $- 0.00941919$ .

$f (- 0.15172908) = - 0.14754949 + 0.30345817 + 1$

Этап 15.2.2.3

Добавим $- 0.14754949$ и $0.30345817$ .

$f (- 0.15172908) = 0.15590868 + 1$

Этап 15.2.2.4

Добавим $0.15590868$ и $1$ .

$f (- 0.15172908) = 1.15590868$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ: $1.15590868$ .

$y = 1.15590868$

Этап 16

Найдем вторую производную в $x = 0.88613093$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$24 {(0.88613093)}^{2} + 18 (0.88613093) - 12$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Возведем $0.88613093$ в степень $2$ .

$24 \cdot 0.78522804 + 18 (0.88613093) - 12$

Этап 17.1.2

Умножим $24$ на $0.78522804$ .

$18.84547299 + 18 (0.88613093) - 12$

Этап 17.1.3

Умножим $18$ на $0.88613093$ .

$18.84547299 + 15.9503569 - 12$

Этап 17.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Добавим $18.84547299$ и $15.9503569$ .

$34.7958299 - 12$

Этап 17.2.2

Вычтем $12$ из $34.7958299$ .

$22.7958299$

Этап 18

$x = 0.88613093$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0.88613093$ — локальный минимум

Этап 19

Найдем значение y, если $x = 0.88613093$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.88613093$ .

$f (0.88613093) = 2 {(0.88613093)}^{4} + 3 {(0.88613093)}^{3} - 6 {(0.88613093)}^{2} - 2 \cdot 0.88613093 + 1$

Этап 19.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1

Возведем $0.88613093$ в степень $4$ .

$f (0.88613093) = 2 \cdot 0.61658307 + 3 {(0.88613093)}^{3} - 6 {(0.88613093)}^{2} - 2 \cdot 0.88613093 + 1$

Этап 19.2.1.2

Умножим $2$ на $0.61658307$ .

$f (0.88613093) = 1.23316615 + 3 {(0.88613093)}^{3} - 6 {(0.88613093)}^{2} - 2 \cdot 0.88613093 + 1$

Этап 19.2.1.3

Возведем $0.88613093$ в степень $3$ .

$f (0.88613093) = 1.23316615 + 3 \cdot 0.69581486 - 6 {(0.88613093)}^{2} - 2 \cdot 0.88613093 + 1$

Этап 19.2.1.4

Умножим $3$ на $0.69581486$ .

$f (0.88613093) = 1.23316615 + 2.08744458 - 6 {(0.88613093)}^{2} - 2 \cdot 0.88613093 + 1$

Этап 19.2.1.5

Возведем $0.88613093$ в степень $2$ .

$f (0.88613093) = 1.23316615 + 2.08744458 - 6 \cdot 0.78522804 - 2 \cdot 0.88613093 + 1$

Этап 19.2.1.6

Умножим $- 6$ на $0.78522804$ .

$f (0.88613093) = 1.23316615 + 2.08744458 - 4.71136824 - 2 \cdot 0.88613093 + 1$

Этап 19.2.1.7

Умножим $- 2$ на $0.88613093$ .

$f (0.88613093) = 1.23316615 + 2.08744458 - 4.71136824 - 1.77226187 + 1$

Этап 19.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.1

Добавим $1.23316615$ и $2.08744458$ .

$f (0.88613093) = 3.32061074 - 4.71136824 - 1.77226187 + 1$

Этап 19.2.2.2

Вычтем $4.71136824$ из $3.32061074$ .

$f (0.88613093) = - 1.3907575 - 1.77226187 + 1$

Этап 19.2.2.3

Вычтем $1.77226187$ из $- 1.3907575$ .

$f (0.88613093) = - 3.16301938 + 1$

Этап 19.2.2.4

Добавим $- 3.16301938$ и $1$ .

$f (0.88613093) = - 2.16301938$

Этап 19.2.3

Окончательный ответ: $- 2.16301938$ .

$y = - 2.16301938$

Этап 20

Это локальные экстремумы $f (x) = 2 x^{4} + 3 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x + 1$ .

$(- 1.85940185, - 11.40451039)$ — локальный минимум

$(- 0.15172908, 1.15590868)$ — локальный максимум

$(0.88613093, - 2.16301938)$ — локальный минимум

Этап 21