Алгебра Примеры

$V = \frac{4}{3} π r^{3}$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$V = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3})$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d V} (V) = \frac{d}{d V} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3}))$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ имеет вид $n V^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{3}$ .

$\frac{d}{d V} [\frac{π \cdot 4}{3} \cdot r^{3}]$

Этап 4.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Объединим $\frac{π \cdot 4}{3}$ и $r^{3}$ .

$\frac{d}{d V} [\frac{π \cdot 4 r^{3}}{3}]$

Этап 4.1.2.2

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{d}{d V} [\frac{4 \cdot π r^{3}}{3}]$

Этап 4.1.3

Поскольку $\frac{4 π}{3}$ является константой относительно $V$ , производная $\frac{4 π r^{3}}{3}$ по $V$ равна $\frac{4 π}{3} \frac{d}{d V} [r^{3}]$ .

$\frac{4 π}{3} \frac{d}{d V} [r^{3}]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d V} [f (g (V))]$ имеет вид $f' (g (V)) g' (V)$ , где $f (V) = V^{3}$ и $g (V) = r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $r$ .

$\frac{4 π}{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d V} [r])$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{4 π}{3} (3 u^{2} \frac{d}{d V} [r])$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $r$ .

$\frac{4 π}{3} (3 r^{2} \frac{d}{d V} [r])$

Этап 4.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Объединим $3$ и $\frac{4 π}{3}$ .

$\frac{3 (4 π)}{3} (r^{2} \frac{d}{d V} [r])$

Этап 4.3.2

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{12 π}{3} (r^{2} \frac{d}{d V} [r])$

Этап 4.3.3

Объединим $r^{2}$ и $\frac{12 π}{3}$ .

$\frac{r^{2} (12 π)}{3} \frac{d}{d V} [r]$

Этап 4.3.4

Перенесем $12$ влево от $r^{2}$ .

$\frac{12 \cdot r^{2} π}{3} \frac{d}{d V} [r]$

Этап 4.3.5

Сократим общий множитель $12$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Вынесем множитель $3$ из $12 r^{2} π$ .

$\frac{3 (4 r^{2} π)}{3} \frac{d}{d V} [r]$

Этап 4.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (4 r^{2} π)}{3 (1)} \frac{d}{d V} [r]$

Этап 4.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (4 r^{2} π)}{3 \cdot 1} \frac{d}{d V} [r]$

Этап 4.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 r^{2} π}{1} \frac{d}{d V} [r]$

Этап 4.3.5.2.4

Разделим $4 r^{2} π$ на $1$ .

$4 r^{2} π \frac{d}{d V} [r]$

Этап 4.4

Перепишем $\frac{d}{d V} [r]$ в виде $r'$ .

$4 r^{2} π r'$

Этап 4.5

Изменим порядок множителей в $4 r^{2} π r'$ .

$4 π r^{2} r'$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = 4 π r^{2} r'$

Этап 6

Решим относительно $r'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $4 π r^{2} r' = 1$ .

$4 π r^{2} r' = 1$

Этап 6.2

Разделим каждый член $4 π r^{2} r' = 1$ на $4 π r^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разделим каждый член $4 π r^{2} r' = 1$ на $4 π r^{2}$ .

$\frac{4 π r^{2} r'}{4 π r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 π r^{2} r'}{4 π r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Этап 6.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{π r^{2} r'}{π r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Этап 6.2.2.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π r^{2} r'}{π r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Этап 6.2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{r^{2} r'}{r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Этап 6.2.2.3

Сократим общий множитель $r^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{r^{2} r'}{r^{2}} = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Этап 6.2.2.3.2

Разделим $r'$ на $1$ .

$r' = \frac{1}{4 π r^{2}}$

Этап 7

Заменим $r'$ на $\frac{d r}{d V}$ .

$\frac{d r}{d V} = \frac{1}{4 π r^{2}}$