Алгебра Примеры

$25 x^{2} + y^{2} - 100 x - 2 y + 76 = 0$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения эллипса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $76$ из обеих частей уравнения.

$25 x^{2} + y^{2} - 100 x - 2 y = - 76$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $25 x^{2} - 100 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 25$

$b = - 100$

$c = 0$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 100}{2 \cdot 25}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 100$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 100$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot 25}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 25$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 (25)}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot 25}$

Этап 1.2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 50}{25}$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $- 50$ и $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $25$ из $- 50$ .

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $25$ из $25$ .

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25 (1)}$

Этап 1.2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25 \cdot 1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 2}{1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$d = - 2$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 100)}^{2}}{4 \cdot 25}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $- 100$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot 25}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{100}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $10000$ на $100$ .

$e = 0 - 1 \cdot 100$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $100$ .

$e = 0 - 100$

Этап 1.2.4.2.2

Вычтем $100$ из $0$ .

$e = - 100$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $25 {(x - 2)}^{2} - 100$ .

$25 {(x - 2)}^{2} - 100$

Этап 1.3

Подставим $25 {(x - 2)}^{2} - 100$ вместо $25 x^{2} - 100 x$ в уравнение $25 x^{2} + y^{2} - 100 x - 2 y = - 76$ .

$25 {(x - 2)}^{2} - 100 + y^{2} - 2 y = - 76$

Этап 1.4

Перенесем $- 100$ в правую часть уравнения, прибавив $100$ к обеим частям.

$25 {(x - 2)}^{2} + y^{2} - 2 y = - 76 + 100$

Этап 1.5

Составим полный квадрат для $y^{2} - 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = - 2$

$c = 0$

Этап 1.5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.3.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Этап 1.5.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 1}{1}$

Этап 1.5.3.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$d = - 1$

Этап 1.5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Этап 1.5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Этап 1.5.4.2.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Этап 1.5.4.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Этап 1.5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e = 0 - 1$

Этап 1.5.4.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$e = - 1$

Этап 1.5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(y - 1)}^{2} - 1$ .

${(y - 1)}^{2} - 1$

Этап 1.6

Подставим ${(y - 1)}^{2} - 1$ вместо $y^{2} - 2 y$ в уравнение $25 x^{2} + y^{2} - 100 x - 2 y = - 76$ .

$25 {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} - 1 = - 76 + 100$

Этап 1.7

Перенесем $- 1$ в правую часть уравнения, прибавив $1$ к обеим частям.

$25 {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = - 76 + 100 + 1$

Этап 1.8

Упростим $- 76 + 100 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Добавим $- 76$ и $100$ .

$25 {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 24 + 1$

Этап 1.8.2

Добавим $24$ и $1$ .

$25 {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 25$

Этап 1.9

Разделим каждый член на $25$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{25 {(x - 2)}^{2}}{25} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{25} = \frac{25}{25}$

Этап 1.10

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

${(x - 2)}^{2} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{25} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = 5$

$b = 1$

$k = 1$

$h = 2$

Этап 4

Центр эллипса имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(2, 1)$

Этап 5